- •1. Прямоугольный треугольник
- •2. Теоремы синусов и косинусов
- •3. Площадь треугольника
- •4. Высоты, медианы и биссектрисы треугольника
- •5. Вписанная и описанная окружности треугольника
- •6. Окружность и ее компоненты
- •7. Окружности и подобные треугольники.
- •8. Многоугольники и их компоненты
- •9. Параллелограмм
- •10. Трапеция
8. Многоугольники и их компоненты
Многоугольником или точнее n-угольником называют часть плоскости, ограниченную n-звенной (n 3) замкнутой ломаной без самопересечений. Вершины и звенья этой ломаной соответственно называют вершинами и сторонами этого многоугольника. На рисунке 12 (слева – направо) изображены выпуклый и невыпуклый четырехугольники. Под выпуклым многоугольником понимают такой, который расположен в одной полуплоскости относительно каждой прямой, проходящей через его стороны. Многоугольник является выпуклым тогда и только тогда, когда
все его внутренние углы меньше 1800.
Сумма всех внутренних углов любого
(и даже невыпуклого) n-угольника равна
(n – 2)180 0. Отрезок, соединяющий не смеж-
ные (не лежащие на одной стороне) вершины Рис. 12
называется диагональю многоугольника. В n-угольнике n(n – 3)/2 диагоналей. Если d1, d2 – длины диагоналей четырехугольника, угол между которыми равен , то площадь этого четырехугольника может быть найдена по формуле . Оказывается, что в четырехугольнике, с перпендикулярными диагоналями, суммы квадратов противоположных сторон равны.
Окружность, проходящая через все вершины многоугольника, называют описанной около него, а окружность, касающуюся каждой его стороны, – вписанной в этот многоугольник. Ясно, что если около многоугольника описана окружность или в него вписана окружность, то он является обязательно выпуклым. Не во всякий даже выпуклый многоугольник можно вписать окружность, но если ее можно в него вписать, то она единственна и ее радиус может быть найден по формуле r = S/p, где S – площадь и p – полупериметр этого многоугольника. Также не около всякого многоугольника можно описать окружность. Если около некоторого многоугольника все же можно описать окружность, то она единственна и его обычно называют вписанным, а радиус этой окружности, зная информацию о двух каких-то смежных сторонах и углу между ними, можно найти как радиус окружности, описанной около треугольника, построенного на этих двух смежных сторонах многоугольника. Полезно знать связанные с описанной и вписанной окружностями четырехугольника следующие два утверждения:
- около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его двух каких-то противоположных углов равна 1800 ;
- в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он выпуклый и суммы его противоположных сторон равны.
Многоугольник, у которого все стороны равны и все внутренние углы тоже равны, называется правильным. В такой многоугольник можно вписать окружность, а также около него можно описать окружность, причем центры этих окружностей совпадают. Необходимые формулы, связанные с правильным n-угольником A1A2…An , можно получить в результате рассмотрения треугольника А1 О А2 , где О – центр вписанной (а значит и описанной) окружности. Действительно, угол А1 О А2 равен 3600 / n (кстати, внешний угол при вершине правильного n-угольника тоже равен 3600 / n), А1 О – радиус описанной около многоугольника окружности, высота треугольника А1 О А2, проведенная из О, – радиус вписанной в многоугольник окружности, – площадь n-угольника и т. д.. Для примера приведем одну из версий таких формул для правильного n-угольника, в случае, когда известна длина а его стороны:
где , r, R и S - соответственно внутренний угол, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь этого правильного n-угольника.
Теперь можно переходить к решению заданий 3.1 – 3.5.
8.1. В пятиугольник с площадью 22 вписали окружность радиуса 2. Найдите наименьшую из его сторон, если их длины относятся как 3 : 2 : 1 : 2 : 3.
8.2. В правильном шестиугольнике А1 А2…А6 проекция диагонали А1 А3 на диагональ А3 А6 равна . Найдите площадь вписанного в этот шестиугольник круга.
8.3. Около правильного многоугольника А1 А2 …Аn с внешним углом 30 0 описана окружность радиуса . Найдите расстояние от точки А1 до прямой А3 А8 .
8.4. Найдите диаметр окружности, описанной около четырехугольника со сторонами 7, 15, 20 и 24 .
8.5. В четырехугольник с перпендикулярными диагоналями вписана окружность. Найдите ее радиус, если известно, что какие-то две стороны четырехугольника равны 13 и 15 , а одна из его диагоналей равна 24 .