Образец оформления отчета лабораторной работы №1 «Графический метод».

Задание: составить математическую модель и решить задачу графически.

Задача.

Предприятие изготавливает и реализует два вида продукции – P₁ и P₂. Для производства продукции используются два вида ресурсов – сырье и труд. Максимальные запасы этих ресурсов в сутки составляют 14 и 26 единиц соответственно. Расход ресурсов на изготовление каждого вида продукции, запасы и оптовые цены продукции приведены в таблице.

Ресурсы	Расходы ресурсов на 1 ед. продукции		Запас ресурсов, ед.
	P1	P2
Сырье	1	3	14
Труд	4	2	26
Оптовая цена	3	3

Известно, что суточный спрос на продукцию P₁, никогда не превышает спроса на продукцию P₂ более чем на 5 ед., а спрос на продукцию P₂ никогда не превышает 4 ед. в сутки.

Как спланировать выпуск продукции предприятия, чтобы доход от ее реализации был максимальным?

Решение.

Предположим, что предприятию следует изготовить Х₁ ед. продукции P₁ и Х₂ ед. продукции P₂. Поскольку имеются нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида продукции и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида, величина суточного спроса на реализуемую продукцию, а также тот факт, что необходимое количество как продукции P₁, так и продукции P₂ не может быть отрицательным, то должна выполняться следующая система ограничений:

Общая прибыль от реализации произведенной продукции составит:

Таким образом, мы переходим к следующей задаче линейного программирования: среди всех неотрицательных решений данной системы линейных неравенств требуется найти такое, при котором функция F принимает максимальное значение.

Найдем решение сформулированной задачи, используя ее геометрическую интерпретацию. Сначала определим область допустимых решений. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных знаки неравенств заменим знаками точных равенств и найдем соответствующие прямые:

Эти прямые изображены на рисунке:

X₂

X₁

II

IV

А

F(x)=c₁

III

I

V

B

C

D

VI

E

Каждое из неравенств системы ограничений геометрически определяет полуплоскость. Пересечение полученных полуплоскостей и определяет область допустимых решений данной задачи. Как видно из рисунка, областью допустимых решений является шестиугольник OABCDE.

Найдем точку, принадлежащую этому шестиугольнику, в которой функция F принимает максимальное значение. Для этого сначала определим направление максимального возрастания значения целевой функции, для чего найдем вектор градиента , координатами которого являются коэффициенты целевой функции, т.е. .

Для нахождения оптимального значения целевой функции построим линию уровня , например прямую , которую будем перемещать в направлении градиента (вектор ). Тогда последней общей точкой прямой с многоугольником решений задачи является точка C. Следовательно, в этой точке функция F принимает максимальное значение. Найдем координаты точки C как точки пересечения прямых I и II. Для этого необходимо решить систему уравнений:

Откуда . Подставляя найденные значения переменных в целевую функцию, получим искомое оптимальное значение:

.

Следовательно, оптимальный план будет:

а максимальная прибыль от реализации произведенной продукции составит: