- •I Понятие функции двух и более переменных, область определения функции
- •Примеры для самостоятельного решения
- •II Частные производные функции нескольких переменных
- •Примеры для самостоятельного решения
- •III Полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференциалы высших порядков
- •Примеры для самостоятельного решения
- •IV Производная по направлению и градиент
- •Примеры для самостоятельного решения
- •V Экстремум функций нескольких переменных
- •Примеры для самостоятельного решения
- •VI Условный экстремум
- •Задачи для самостоятельного решения
- •VII Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Примеры для самостоятельного решения
- •Литература
Примеры для самостоятельного решения
I. Найти производную функции по направлению вектора в точке М, если:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .
II. Найти производную функции в точке по направлению вектора , если
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. .
Найти производную функции в точке М по данному направлению, если:
1. , по направлению вектора, образующего с осью ОХ угол .
2. ;
3. ;
4. ;
5. .
Найти градиент функции в точке М, если:
1. ; 3. ;
2. ; 4. ;
5. .
Найти наибольшее значение в точке М, если:
1. ; 3. ;
2. ; 4. .
Найти вектор , по направлению которого в точке М достигает наибольшего значения, если:
1. ; 3. ;
2. ; 4. .
V Экстремум функций нескольких переменных
Пусть функция определена в окрестности точки .
Определение 1. Если существует окрестность , в которой , то точка М0 называется точкой локального максимума (минимума) функции .
Точки локального минимума и максимума называются точками локального экстремума.
Теорема 1. (Необходимые условия локального экстремума).
Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке М0, то частные производные первого порядка по всем переменным от равны нулю, то есть .
Назовем точки, в которых все частные производные функции равны нулю, стационарными.
Итак, если М0 – точка локального экстремума дифференцируемой функции, то она обязательно стационарная. Обратное утверждение в общем случае неверно. Это подтверждает следующий пример.
Пример 1. Пусть дана дифференцируемая функция .
Найдем ее стационарные точки: при .
Значение функции в стационарной точке (0;0) равно нулю, но, очевидно, в сколь угодно малой окрестности этой точки, функция принимает как положительные, так и отрицательные значения. (Поясните!). Следовательно, в стационарной точке (0;0) наша функция экстремума не имеет.
Если не ограничиваться рассмотрением только дифференцируемых функций, то необходимое условие локального экстремума нужно дополнить. Если функция имеет экстремум в точке М0, то а) или все частные производные первого порядка равны нулю в точке М0; б) или хотя бы одна из частных производных первого порядка не существует в точке М0.
Такие точки М0 называются критическими точками.
Теорема 2. (Достаточные условия локального экстремума функций нескольких переменных)
Пусть -- функция нескольких переменных, имеющая в некоторой окрестности своей стационарной точки М0 непрерывные частные производные второго порядка. Тогда
1) если при всех одновременно не равных нулю, то М0 – точка локального минимума ;
2) если при всех одновременно не равных нулю, то М0 – точка локального максимума ;
если меняет знак, то есть при одном наборе положителен, а при другом наборе отрицателен, то в точке М0 экстремума нет;
если , то есть , то ничего определенного сказать нельзя, то есть экстремум в точке М0 может быть, а может и не быть.
Дифференциал второго порядка любой функции – квадратичная форма: , где -- действительные числа. В развернутом виде квадратичная форма записывается следующим образом:
.
Определение 2. Матрицу называют матрицей квадратичной формы.
Определение 3. Квадратичная форма называется положительно определенной, если при всех одновременно не равных нулю; отрицательно определенной, если при всех одновременно не равных нулю; знакопеременной, если найдутся два набора такие, что при одном из них , а при другом ; неопределенной, если хотя бы для одного нетривиального набора .
Теорема 3. (Критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была 1) положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были положительны, то есть
;
2) отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров чередовались, причем .
3) Если среди главных миноров нет ни одного нуля, но не выполняются ни условие 1), ни 2), то квадратичная форма знакопеременная;
4)если среди главных миноров хотя бы один нуль, то она неопределенная.
Для функций двух переменных
.
Обозначим через .
Используя определение определенности квадратичной формы и теорему 3, из теоремы 2 следует результат:
Теорема 4. (Достаточные условия существования локального экстремума функции двух переменных).
Пусть функция имеет в некоторой окрестности своей стационарной точки непрерывные частные производные второго порядка. Тогда
1) если , то при М0 – точка локального максимума, а
при М0 – точка локального минимума;
2) если , то в точке М0 экстремума нет;
3) если , то ничего сказать нельзя.
Заметим, что из условия вытекает, что .
Схема нахождения локального экстремума функций нескольких переменных.
Найти все стационарные точки функции ;
Определить точки, где не существуют частные производные;
Вычислить в каждой стационарной точке и выяснить знак ;
Сделать вывод об экстремуме, если сразу ясен знак ;
Если знак сразу не ясен, то необходимо выписать матрицу квадратичной формы, вычислить главные миноры и сделать вывод об определенности квадратичной формы и об экстремуме. (В случае функции двух переменных воспользоваться результатом теоремы 4);
В точках, где не существуют частные производные функции , нужно записать полное приращение функции, определить его знак в окрестностях этих точек и сделать вывод об экстремуме (если полное приращение положительно в окрестности точки М0, то М0 – точка локального минимума, если – отрицательно, то М0 – точка локального максимума).
Замечание. При выяснении знака можно переменные менять местами, если среди главных миноров есть нулевые, эта операция не приводит к результату, если определитель всей матрицы равен нулю.
Пример 2. Исследовать на локальный экстремум функцию:
.
Функция определена при всех и . Найдем частные производные первого порядка: ; .
Эти производные существуют для всех и . Для нахождения стационарных точек имеем: или .
Так как не является решением системы, то .
Умножим обе части уравнения на , получим .
Далее, ; или .
То есть -- стационарные точки.
Вычислим частные производные второго порядка:
.
Тогда в точке (2;3) имеем:
.
Значит согласно достаточному условию теоремы 4, в этой точке нет экстремума.
В точке (-2;-3):
-- также нет экстремума.
В точке (3;2):
-- экстремум есть, и так как , то это точка локального минимума. .
В точке (-3;-2):
-- экстремум есть, и так как , то это точка локального максимума. .
Пример 3. Исследовать на локальный экстремум функцию:
.
Найдем частные производные и составим систему уравнений.
или
Решая систему, получим четыре стационарные точки
. Найдем частные производные второго порядка .
Запишем дифференциал второго порядка функции:
.
1) Вычислим в точке : .
Матрица данной квадратичной формы имеет вид: .
Найдем главные миноры матрицы .
Следовательно, квадратичная форма – знакопеременная М1 не является точкой локального экстремума.
2) . Матрица квадратичной формы: . Главные миноры: .
Квадратичная форма – положительно определенная, то есть и -- точка локального минимума. .
3) .
Матрица квадратичной формы: .
Главные миноры матрицы: .
Следовательно, М3 не является точкой локального экстремума.
4) Аналогично, проверьте самостоятельно, что точка М4 не является точкой локального экстремума.