МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Методические рекомендации

к использованию понятий

производной и интеграла

в курсе

ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

МОСКВА

Министерство образования Российской Федерации

Министерство Российской Федерации по атомной энергии

Московский инженерно-физический институт

(Государственный университет)

Методические рекомендации

к использованию понятий

производной и интеграла

в курсе

ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Утверждено

советом факультета ЭТФ

Москва

Методические рекомендации к использованию понятий производной и интеграла в курсе общей физики. – М.: Изд. МИФИ,

Предназначены для студентов 1-го семестра МИФИ. Цель рекомендаций – в оказании методической помощи студентам при решении задач и освоении теоретического материала по физике, требующего использования понятий производной и интеграла.

Иллюстрируется методика составления интегральных сумм для вычисления физических величин. Содержатся сведения о простейших приемах интегрирования и дифференцирования и о свойствах производных и интегралов. Рекомендации подкрепляются конкретными примерами, часто встречающимися в физических приложениях. Справочный материал дается в минимально необходимом объеме.

Составитель: Е.И. Бабаджан

1. Приращение функции и вычисление средней скорости

Изменения функции

Одним из основных свойств, характеризующих функцию, является скорость ее изменения. Пусть аргумент х функции f(x) получил приращение Δх, т.е. начальное значение аргумента равно х, а конечное х+Δх. Вычислим приращение функции, обусловленное приращением аргумента:

. (1)

Приращение – алгебраическая величина, которую нельзя отождествлять с «увеличением». Действительно, если f(x+Δх)<f(x), то Δf(x)<0 и приращение отрицательно.

Средняя скорость изменения функции на участке от х до х+Δх, вычисляется по формуле:

. (2)

П р и м е р 1. Частица движется вдоль оси у. В момент времени t₁=5,00с координата частицы составила у₁=2,00м, в момент времени t₂=8,00с у₂=3,20м. Требуется найти среднюю скорость <v_у> движения частицы в промежутке времени от t₁ до t₂.

Рассматриваем координату частицы как функцию времени у(t), тогда

<v_у> .

Вычисление приводит к ответу: <v_у>=0,400м/с.

Замечание. Средняя скорость изменения как характеристика функции обладает существенным недостатком, который иллюстрируется рис.1. Как видно из рис.1, функции f₁(x) и f₂(x) получили одинаковые приращения при изменении аргумента от х до х+Δх, следовательно, одинаковыми будут и средние скорости изменения функций f₁ и f₂ на этом отрезке. Между тем, из графиков видно, что функция f₂(х) меняется гораздо быстрее, резче, чем f₁ (х).

Рис.1. Графики двух различных функций, имеющих одинаковое приращение при изменении аргумента от х до Δх

2. Производная, ее вычисление с помощью графика функции

Предел отношения Δf(х)/Δх при Δх, стремящемся к нулю, называется производной функции f(х) в точке х. Для производной приняты обозначения df/dx или . Следовательно,

f′(х)=lim_Δx→0 . (3)

Как видно из рис.2, отношение Δf/Δх=tgα, где α -угол, образованный осью и прямой, проведенной через точки графика, соответствующие значениям х и х+Δх. При стремлении Δх к нулю точка 2 «скользит» по графику функции в направлении стрелки, приближаясь к точке 1. В результате прямая, проведенная через точки 1 и 2 будет приближаться к касательной, проведенной через точку 1 графика (см. пунктирную прямую на рис.2). Естественно, что производная будет численно равна тангенсу угла β, образованного касательной к графику в данной точке и осью х.

Рис.2 К геометрическому смыслу производной

Рис. 3 График функции f(х): а-график функции;

б-график производной