Інтеграл
аналогічно зводиться до такого ж типу підстановкою
.
Але можна діяти і інакше, якщо зробити підстановку
і
.
Приклад 4.11.
,
де
функція,
обернена по відношенню до
.
У той же час із таблиці інтегралів маємо
.
Різні результати (підкреслимо ще раз),
одержані різними підстановками, не
повинні нас приводити до тупикової
ситуації: результати, як свідчить теорія,
будуть відрізнятися на сталу.
І тепер, у випадку
можна
запропонувати, наприклад, таку підстановку
(а можна і
або
).
Приклад 4.12. Обчислити
.
Варіант 1:
Варіант 2:
.
Варіант 3:
.
Варіант 4:
Зауваження. Інтеграл
можна раціоналізувати зразу підстановками Ейлера. Ми не будемо детально розписувати, але вкажемо ці підстановки
1) якщо
,
то покладемо
;
2) якщо
,
то
;
3) якщо
,
то розглянемо два випадки:
3*)
,
безумовно,
повинно бути додатнім і
;
3**)
,
тоді
.
Приклад 4.13. Обчислити інтеграл
.
тут
.
Візьмемо, наприклад, знак "".
Тоді
де
.
Неважко перевірити, що
і
де
.
§5. Інтеграл від диференціального бінома
Диференціальним біномом називають вираз
.
1. Нехай
.
У цьому випадку диференціальний біном
є ірраціональність виду
,
де
найменше
загальне кратне знаменників раціональних
чисел
.
А як відомо, інтеграл раціоналізується
підстановкою
.
2. Нехай
.
Покладемо
,
тоді
(5.1)
Якщо
,
маємо
.
Як відомо
(4.4), одержаний інтеграл раціоналізується
підстановкою
,
де
знаменник
.
3. Нехай
,
тоді перепишемо інтеграл (5.1) інакше
Якщо
,
то одержаний інтеграл типу (4.3) і
підстановкою
,
де
знаменник
,
він раціоналізується.
Одержані результати остаточно перефразуємо наступним чином:
ціле,
тоді підстановка
де
загальний
знаменник дробів
не ціле, але
ціле,
тоді підстановка
,
де
знаменник
;не ціле, але
ціле,
тоді підстановка
,
де
знаменник
.
Теорема
(Чебишева П.Л.) Інтеграл від диференціального
бінома виражається в елементарних
функціях тільки в трьох випадках:
ціле,
ціле,
ціле.
Якщо жодна з умов
не виконується, то інтеграл знайти в
класі елементарних функцій неможливо.
Приклад 5.1. Обчислити інтеграл
.
Тут
зробимо
підстановку
,
тоді
Приклад 5.2. Обчислити інтеграл
Тут
інтеграл
неможливо одержати як композицію
елементарних функцій.
Приклад 5.3. Обчислити інтеграл
Тут
.
Маємо третій випадок, а тому зробимо
підстановку
Отже,
Раціональніше
обчислити цей інтеграл інтегруванням
частинами, або підстановкою
.
У попередніх параграфах методи інтегрування супроводжувались відповідними прикладами. Нижче наведемо інтеграли, де студент може самостійно вибрати той чи інший метод для обчислення інтеграла. Тим більше, що ці приклади детально розібрані і вказані найраціональніші методи обчислення або відповідна підстановка.
§ 6. Мішані типові задачі на інтегрування
Обчислити інтеграли:
Приклад 6.1.
.
Розв'язання. Достатньо перенести ірраціональність в чисельник
(дивись властивість і таблицю).
Приклад 6.2.
.
Розв'язання.
(дивись властивість і таблицю).
Приклад 6.3.
.
Розв'язання.
Приклад 6.4.
.
Розв'язання.
Підінтегральна функція раціональна
відносно
(тут було
враховано, що
).
Приклад 6.5.
.
Розв'язання.
Підінтегральний вираз раціонально
залежить від
Приклад 6.6.
.
Розв'язання. Підінтегральна функція є неправильним раціональним дробом. Виділимо цілу частину
Таким чином,
.
Розкладемо
дріб
на суму двох дробів першого та третього
типу:
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях в обох частинах останньої рівності, будемо мати
Таким чином,
.
Остаточно маємо:
Приклад 6.7.
.
Розв'язання.
Щоб звільнитися від ірраціональності
в чисельнику, помножимо чисельник і
знаменник на
.
Приклад 6.8.
.
Розв'язання.
Використаємо підстановку
,
і
Приклад 6.9.
.
Розв'язання. Застосуємо метод інтегрування частинами.
Приклад 6.10.
Розв'язання.
Оскільки
,
то одержуємо
.
Приклад 6.11.
.
Розв'язання.
Обираємо підстановку
Приклад 6.12.
.
Розв'язання.
Підінтегральна функція має вид
,
тому доцільно використати підстановку
,
.
Приклад 6.13.
.
Розв'язання.
Підінтегральна функція має вид
,
тому доцільно було б скористатися
підстановкою
,
але ми поступимо інакше:
Приклад 6.14.
.
Розв'язання. Виділимо повний квадрат у квадратному тричлені
Тоді
Приклад 6.15.
.
Розв'язання.
Приклад 6.16.
.
Розв'язання.
Інтеграли типу
можна обчислити за формулою
,
де
сталі,
визначені наступним чином. Продиференціюємо
обидві частини цієї рівності. Якщо після
цього привести до загального знаменника,
то із рівності чисельників одержимо
систему відносно
.
Подібним чином можна обчислити і інтеграли
.
Зрозуміло, що в цьому випадку достатньо ірраціональність перенести до знаменника.
Таким чином,
Прирівнюючи чисельники, одержимо
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях в обох частинах останньої рівності, маємо
Остаточно маємо
Приклад 6. 17
Розв'язання.
Зробимо підстановку
.
Маємо
.
Отже
Тут було враховано, що
Вкажемо інші, на наш погляд більш раціональні варіанти
Варіант
1:
Можна використати універсальну
тригонометричну підстановку
.
Тоді
.
Маємо
Варіант 2: підінтегральну функцію перетворимо наступним чином
тоді
Отже остаточно маємо
Приклад 6.18
Розв'язання.
Підінтегральна функція має вид
,
тому доцільно було б використати
підстановку
,
але можна і інакше
.
Приклад 6.19.
.
Розв'язання. Застосуємо метод інтегрування частинами.
Приклад 6.20.
.
Розв'язання. Спростимо вираз у знаменнику підінтегральної функції
.
Отже
Приклад 6.21.
.
Розв'язання.
Приклад 6.22.
.
Розв'язання.
Тепер для обчислення першого інтегралу скористаємося методом інтегрування частинами, а другого методом заміни змінної:
Остаточно маємо
.
Приклад 6. 23.
.
Розв'язання.
Зауваження. Якщо Вам хватило терпіння дочитати цей розділ, то Ви зрозуміли, що інтегрування це мистецтво, яким треба оволодіти досить добре, тим більше, що багато інтегралів, яких потребує практика, носять назву „неберущихся”. Окрім наведених в цьому розділі, такими є еліптичні інтеграли, до них зводять задачі знаходження довжини дуги еліпсу, звідки і виникла ця назва. Про них і їм подібних поговоримо пізніше в наступних розділах.
Приведемо два приклада на застосування невизначеного інтегралу в курсі алгебри.
Приклад 6.24. Спростити вираз
.
Розв'язання. Маємо
Звідки
.
Зокрема, коли
маємо
.
Таким
чином,
,
а тому
.
Покладемо
,
тоді
,
звідки
.
Отже
Приклад 6.25. Довести тотожність
.
Розв'язання. Нехай
.
Тоді
Знайдемо
похідну функції
:
,
що і потрібно було довести.