Министерство образования Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КИНЕМАТИКИ

МАНИПУЛЯТОРА

Методические указания

к выполнению лабораторно – исследовательской работы

по курсам “Механика роботов”, “Управление роботами и РТС”

для студентов специальности 2103 00

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета

Саратов 2005

Содержание

Введение 3

1. Цель работы -

2. Методы решения прямой задачи кинематики -

3. Обзор кинематических параметров описания углового и

пространственного движения манипулятора 5

3.1. Параметры Эйлера, Крылова, направляющие косинусы. Матрицы преобразования 44 -

3.2. Параметры Родрига – Гамильтона, Кейли – Клейна, кватернионы и их дуальные аналоги 9

4. Методы решения обратной задачи кинематики 14

4.1. Аналитические методы 17

4.2. Численные методы 18

5. Приложение 1. Пример использования различных

кинематических параметров 19

5.1. Матрицы направляющих косинусов -

5.2. Кватернионы (кватернионные матрицы) 21

5.3. Параметы Кейли-Клейна 23

6. Приложение 2. Пример решение прямой и обратной задачи для манипулятора типа PUMA 26

7. Контрольные вопросы 27

8. Задания для выполнения лабораторно-исследовательской работы 32

9. Содержание отчета о работе

Литература -

1. Введение

Проектировании роботов – манипуляторов требует решения следующих основных задач кинематики:

• прямая задача о положениях состоит в определении положения и ориентации рабочего органа, а при необходимости и других звеньев по заданным обобщенным координатам;

• прямая задача о скоростях (ускорениях) состоит в определении скорости (ускорения) движения рабочего органа по заданным обобщенным скоростям (ускорениям) в кинематических парах;

• обратная задача о положениях состоит в определении относительных координат звеньев манипулятора по заданным положениям объекта или жестко связанного с ним захватывающего звена;

• обратная задача о скоростях (ускорениях) состоит в определении требуемых обобщенных скоростей (ускорений) в кинематических парах по заданной скорости (ускорению) выходного звена.

Прямая задача обычно многократно используется при проектировании манипулятора. С ее помощью можно определять характеристики рабочей зоны манипулятора со сложной кинематической схемой при наличии ограничений на обобщенные координаты, определять точностные характеристики, например, погрешности положения и ориентации захватного устройства, которые обусловлены неточным изготовлением звеньев манипулятора, либо неточностями обработки той или иной координаты.

Существует множество методов решения перечисленных задач, имеющих свои достоинства и недостатки. Выбор того, или иного метода связан, как правило, со спецификой решаемой задачи, а также, особенностями конструкции манипулятора.

1. Цель работы

Изучение методов решения задач кинематики манипулятора. Ознакомление с различными кинематическими параметрами, используемыми для описания движения манипулятора. Решение прямой и обратной задачи манипулятора на примере манипуляторов с поступательными и вращательными степенями подвижности.

2. Методы решения прямой задачи кинематики

Прямая задача о положении манипулятора одна из основных задач кинематики, состоящая в расчете положение и ориентацию некоторого звена манипулятора, чаще всего схвата, по заданным перемещениям в отдельных кинематических парах (1),

(1)

где - обобщенные координаты (углы поворотов звеньев и (или) перемещения), n - число степеней свободы, - координаты схвата.

В результате решения прямой задачи определяют положение и ориентацию захватного устройства относительно базовой системы координат.

Условно все методы решения прямой задачи можно разбить на три группы:

1. Методы, позволяющие записать нужные соотношения непосредственно из кинематической схемы манипулятора, т. е. из геометрических соображений без использования специальных приемов.

2. Методы, основанные на использовании матричного аппарата, например, матриц преобразования однородных координат размерностью 44.

В этом методе вводятся системы координат, связанные с каждым из подвижных звеньев, а также базовые системы, связанные с основанием. Составляются, т.н. матрицы перехода, от одной системы координат к ближайшей (соседней). Затем перемножают все полученные матрицы перехода, строят результирующую матрицу, связывающую систему координат основания с системой координат любого звена, например захватного устройства.

3. Методы, основанные на использовании понятия вектора конечного поворота или винта конечного перемещения.

Для описания движения твердого тела около неподвижной точки существует ряд кинематических параметров, таких, как углы Эйлера-Крылова, направляющие косинусы, параметры Родрига-Гамильтона, параметры Кейли-Клейна.

Широкое применение получили углы Эйлера, а также матричный аппарат, когда положение тела задается направляющими косинусами. Однако алгебра кватернионов позволяет более рационально описывать пространственное движение твердого тела. Среди всех кинематических параметров параметры Родрига-Гамильтона и Кейли-Клейна занимают особое место. Эти параметры не вырождаются при любом положении твердого тела, в отличие от углов Эйлера. Число этих параметров равно четырем, поэтому они имеют одно уравнение связи, в отличие от шести для направляющих косинусов. Применение кватернионов позволяет создать весьма удобный и наглядный формализм, использующий параметры Родрига-Гамильтона.

Для описания произвольного пространственного положения тела используются традиционно матрицы преобразования однородных координат 44. Однако, в последнее время, широко используется аппарат бикватернионов, основанный на дуальных параметрах Эйлера (Родрига - Гамильтона).