§6.Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной

Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет вид

(1)

При решении такого уравнения желательно разрешить его относительно , т.е. получить одно или несколько уравнений, разрешенных относительно производной:

(2)

Однако не всегда уравнение (1) разрешается относительно производной и еще реже полученные после разрешения относительно уравнения (2) легко интегрируются. Поэтому уравнения вида (1) часто приходится решать методом введения параметра. Рассмотрим простейший вариант этого метода.

Пусть уравнение (1) разрешается относительно y или относительно x, например его можно записать в виде

Введя параметр , получим

.

Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив через , получим уравнение

Т.е. получим дифференциальное уравнение записанное в дифференциалах

Если найдем решение этого уравнения

То решение исходного уравнения запишем в параметрическом виде

Примерами уравнений, которые решаются изложенным выше методом, есть уравнения Лагранжа и Клеро.

Уравнение Лагранжа имеет вид

(3)

Решая его вышеуказанным способом, приводим его к линейному относительно x как функции p. Находя решение этого последнего уравнения

Получаем общее решение исходного уравнения в параметрической форме:

Кроме того, уравнение Лагранжа может иметь еще особые решения (см. §1) вида

где С – корень уравнения

Уравнение Клеро имеет вид

(4)

Метод решения тот же, что и для уравнения Лагранжа. Общее решение уравнения Клеро имеет вид

Уравнение Клеро может иметь еще особое решение, которое получается исключением из уравнений

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Поскольку

то данное уравнение эквивалентно

Решение этого уравнения

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Представим данное уравнение в виде

Отсюда следует, что исходное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

Решая первое из них, находим

и

А из второго уравнения получаем

Поэтому решение исходного уравнения

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Введем параметр

Тогда

Кроме того

поэтому

Отсюда либо

Интегрируя по частям, получаем

Таким образом, решения исходного уравнения будут

и

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Положим

Тогда

Поскольку

то

Отсюда

Получаем общее решение уравнения в параметрической форме

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение легко разрешить относительно :

.

Это уравнение Лагранжа. Введем параметр

Дифференцируя по x, имеем

Или

.

Получаем линейное уравнение

.

Решая его, находим

Окончательно получаем общее решение исходного уравнения в параметрической форме:

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Это уравнение Клеро. Полагая , получаем

Дифференцируя последнее равенство по x, имеем:

Приравнивая к нулю первый множитель, получаем

откуда и общее решение исходного уравнения есть однопараметрическое семейство прямых

.

Приравнивая к нулю второй множитель, будем иметь

и

Исключая из последних двух равенств параметр , получаем . Это тоже решение нашего уравнения (особое решение).

Задачи

1.

2.

( и

3.

и

4.

или

5.

6.

7.

8.

9.

10.

( )

11.

12.