2. Лінійна модель міжнародної торгівлі.

Розглянемо лінійну модель обміну, котру часто інтерпретують як модель міжнародної торгівлі, що дає змогу визначити торгівельні доходи країн (або їхні співвідношення) для збалансованої торгівлі. Нехай маємо групу з n країн , які ведуть між собою торгівлю.

Позначимо через торговельний доход – ої країни, який формується з продажу власних товарів на внутрішньому, так і на зовнішньому ринках. Структуру торговельних відносин між країнами вважаємо встановленою: частина торговельного доходу , яку –та країна витрачає на купівлю товарів i–ої країни, є сталою.

Розглянемо матрицю

,

яку називають структурною матрицею торгівлі.

Вважатимемо, що весь торговельний доход витрачається або на закупівлю товарів на своїй території, або на імпорт з інших країн, тобто сума елементів будь-якого стовпчика матриці Q дорівнює одиниці:

,

Для країни доход від внутрішньої та зовнішньої торгівлі становить

.

Для збалансованої торгівлі необхідно знайти таку матрицю торговельних доходів

,

Щоб справджувалося матричне рівнянь

,

з якого можна визначити Х.

Приклад 3. Візьмемо три країни (наприклад: США, Німеччину й Кувейт) – учасниці торгівлі з торговельними доходами . Вважатимемо, що весь торговельний доход кожної країни витрачається або на закупівлю товарів на своїй території, або на імпорт з інших країн. Нехай США половину торговельного доходу витрачають на закупівлю товарів на своїй території, чверть – на закупівлю товарів із Німеччини та ще чверть – товарів із Кувейту. Німеччина порівну витрачає торговельний доход на закупівлю товарів зі США, на своїй території та з Кувейту. Кувейт половину торговельного доходу витрачає на закупівлю товарів зі США, іншу половину – з Німеччини й нічого не закуповує на своїй території. Визначимо доходи країн, які задовольняли б збалансовану бездефіцитну торгівлю, якщо сума їхніх доходів становить 9000 умов. грош. од.

Розв’язок. Запишемо структурну матрицю торгівлі:

Нехай – частина доходу, яку –та країна витрачає на закупівлю товарів i–ої країни. Зазначимо, що сума елементів матриці у кожному стовпці дорівнює одиниці. Після підбиття підсумків торгівлі за рік i–та країна одержить прибуток , , Запишемо систему рівнянь для відшукання матриці Х:

або ,

Тобто

Розв’язок цієї системи: , , . Добутий результат означає, що збалансованість торгівлі країн досягається за співвідношення їхніх доходів 2:(3/2):1. Знайдемо доходи країн, які задовольняли б збалансовану бездефіцитну торгівлю за умови, що сума доходів становить

умов. грош. од. Підставимо в цю рівність значення

, , , де C=const. Дістанемо

. Звідки С=2000. Отже, , ,

умовн. грош. од.

На завершення зазначимо, що тут наведено спрощені варіанти моделей міжгалузевого балансу та міжнародної торгівлі.

Приклад 4. Дані про виконання балансу за звітний період (в умовн. грош. од.) наведено в таблиці:

Галузь виробництва	Розподіл випуску продукції в галузях		Обсяг кінцевої продукції	Обсяг валової продукції
	1	2
1	9	25	66	100
2	8	27	165	200

Обчислити необхідний обсяг валової продукції кожної галузі, якщо обсяг кінцевої продукції першої галузі збільшиться вдвічі, а другої – не зміниться.

Розв’язок. Отже, маємо , . Матриця обсягів валової продукції . Використовуючи формулу (1.3), знаходимо коефіцієнти прямих витрат:

Тобто матриця технологічних коефіцієнтів має

невід’ємні елементи й задовольняє критерій продуктивності:

= . Тому для довільної матриці обсягів кінцевої продукції Y можна знайти необхідний обсяг валової продукції Х за формулою

.

Знайдемо матрицю повних витрат :

.

Оскільки , то

.

За умовою матриця обсягів кінцевої продукції . Тоді матриця обсягів валової продукції

,

Тобто обсяг валової продукції в першій галузі треба збільшити до 173,461 умовн. грош. од., а в другій – до 206,794 умовн. грош. од.

Приклад 5. Підприємство випускає три види продукції , використовуючи при цьому два типи ресурсів . Технологічна матриця виробництва чи матриця норм витрат сировини має вигляд

, де ) –це кількість одиниць сировини I – го типу, що витрачається на виробництво одиниці продукції

j–го виду. Будемо припускати, що план випуску продукції заданий матрицею-стовпцем ,вартість одиниці кожного типу ресурсів – матрицею-рядком . Визначити витрати ресурсів, які необхідні для забезпечення планового завдання випуску продукції і загальну вартість ресурсів.

Розв’язок. Знайдемо витрати ресурсів необхідні для забезпечення планового завдання випуску продукції, як добуток технологічної матриці на

матрицю планового випуску продукції

. Отже, для того, щоб забезпечити плановий випуск продукції ресурсами, необхідно мати ресурсу першого типу в кількості 2100 од., а ресурсу другого типу – у кількості 3000 од. Загальну вартість усіх ресурсів можна знайти, як добуток матриці вартості ресурсів на матрицю витрат

(грош. од.)

Загальну вартість ресурсів можна обчислити і іншим способом.

Приклад 6. Прогноз випуску продукції по запасам сировини. Підприємство випускає три види продукції, використовуючи сировину трьох типів. Необхідні характеристики виробництва надані в таблиці:

Вид сировини	Витрати сировини по видам продукції			Запаси сировини
1	6	4	5		2400
2	4	3	1		1450
3	5	2	3		1550

Необхідно визначити об’єм випуску продукції кожного виду при заданих запасах сировини. Задачі такого типу типові для прогнозів та оцінювання функціонування підприємств, експертних оцінок, а також для планування мікроекономіки підприємств.

Розв’язок. Позначимо невідомі об’єми випуску продукції через .

Тоді при умові повних витрат запасів для кожного виду сировини можна записати балансові відношення, які складають систему трьох рівнянь з трьома невідомими:

Розв’язавши цю систему, отримаємо . Тобто, ми можемо випустити 150 одиниць продукції першого виду, 250 – другого, 100 – третього.