где и – априорные вероятности.

Пример 1. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем первый завод поставляет 30% всех изделий, второй – 20%, а третий – 50%. Среди изделий первого завода 80% первосортных, второго – 90%, третьего – 70%. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Какова вероятность того, что купленное изделие выпущено вторым заводом?

Решение. Так как неизвестно, изделие какого завода куплено, то введем в рассмотрение гипотезы:

– куплено изделие первого завода,

– куплено изделие второго завода,

– куплено изделие третьего завода.

Обозначим через событие, состоящее в том, что куплено первосортное изделие.

Априорные вероятности гипотез равны , , .

Априорные условные вероятности появления события при выполнении той или иной гипотезы равны , , .

Апостериорную вероятность того, что купленное первосортное изделие выпущено вторым заводом, найдем по формуле Байеса:

5. Повторение независимых испытаний. Схема Бернулли

Самой простой моделью повторения испытаний являются независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления некоторого события постоянна и равна . Тогда вероятность того, что в опытах событие появится ровно раз, определяется формулой Бернулли , где

При больших вычисления по формуле Бернулли становятся громоздкими и в этих случаях для вычисления вероятности появления события ровно раз в независимых испытаниях используется локальная теорема Лапласа ,

где

или формула Пуассона , где

Можно рекомендовать пользоваться теоремой Лапласа, если , и формулой Пуассона, если .

Если требуется найти вероятность того, что в независимых испытаниях событие появится не менее , но не более чем раз, то используют формулы

,

, где ,

.

Для функций и составлены таблицы.

Значение , при котором вероятность принимает наибольшее значение, называется наивероятнейшим числом успехов.

, где – символ целой части числа.

Если – целое число, то принимает два значения

и .

Пример 1. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,75. Какова вероятность того, что при пяти выстрелах будет ровно три попадания.

Решение. Воспользуемся формулой Бернулли.

Пример 2. Вероятность попадания в объект равна 0,75. Для разрушения объекта необходимо не менее трех попаданий. Произведено пять выстрелов. Какова вероятность того, что объект будет разрушен?

Решение. Вероятность события , состоящего в том, что объект будет разрушен, равна

Пример 3. Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,012. Поступило 1000 вызовов. Какова вероятность 9 сбоев?

Решение. Так как число опытов велико, то воспользуемся локальной теоремой Лапласа

По таблице находим

Окончательно

Пример 4. Вероятность выхода из строя за время одного конденсатора равна 0,2. Определить вероятность того, что за время из 100 конденсаторов выйдут из строя от 14 до 26 конденсаторов.

Решение. Для этой задачи математической моделью является схема Бернулли.

Здесь , , , .

Согласно теореме Муавра-Лапласа

,

где .

Тогда

.

6. δ-функция и ее свойства

Пусть – линейное пространство. Отображение , то есть правило, согласно которому всякому ставится в соответствие число, называемое функционалом.

Функционал называется линейным, если для любых и любых чисел и

.

Всюду в дальнейшем в качестве линейного пространства будем понимать { , вблизи концов интервала}. То есть   –  это линейное пространство бесконечно дифференцируемых функций, определенных на интервале , тождественно равных нулю вблизи концов этого интервала. Действие функционала на функцию , будем записывать так:

.

Примеры линейных функционалов над

а) Всякая кусочно-непрерывная функция порождает линейный функционал над вида

.

б) .

Такие функционалы, которые любой функции ставят в соответствие значение этой функции в точке , называются -функцией.

По аналогии с а) действие -функции записывают в виде интеграла

Последнее равенство называют фильтрующим свойством -функции.