3.4 Ув’язка кільцевої водопровідної мережі

Гідравлічний розрахунок кільцевих водопровідних мереж суттєво відрізняється від розрахунку незалежних (одиночних) трубопроводів та ділянок розгалужених (тупикових) мереж. В розгалужених мережах, як і в одиночних трубопроводах, шлях руху води від початкової до кінцевої точки можливий тільки один. Тому після визначення розрахункових витрат та вибору діаметрів труб на ділянках (враховуючи, що в межах однієї ділянки діаметр труб має бути незмінним), використовуючи таблиці Шевельова, можна скористатися значеннями гідравлічного нахилу. Знаючи гідравлічний нахил за формулою (3.18) можна визначити втрати напору на ділянці будь-якої довжини. На цьому гідравлічний розрахунок тупикової мережі можна вважати закінченим.

Для кільцевої мережі такий розрахунок є значно складнішим. Згідно з першим законом Кірхгофа для такої мережі алгебраїчна сума витрат у кожному вузлі має дорівнювати нулю. Для багатокільцевої мережі з вузловими відборами води він запишеться для кожного її вузла у вигляді рівнянь, які називають вузловими рівняннями

. (3.21)

Нехай маємо мережу, яка складається з кількох ділянок, що утворюють один замкнений контур (одне водопровідне кільце) і немає вузлових відборів (рисунок 3.4).

Згідно з цим законом витрата води, яка входить у вузол 1 розподіляється між так званими півкільцями. Їх утворюють ділянки 1–2, 2–3 та 1–4, 4–3. Витрата розподіляється не однаково, а обернено пропорційно повним гідравлічним опорам півкілець , які працюватимуть паралельно.

З курсу технічної механіки рідин відомо, що при паралельному з’єднанні простих трубопроводів втрати напору в окремих вітках розгалуження є рівними. Тобто, для рисунку 3.4

, (3.22)

або

.

Якщо від вузла «1» починати рухатися ділянками мережі по замкненому кільцю за годинниковою стрілкою, то потоки в ділянках «1–2» та «2–3» будуть співпадати з напрямом руху, а потоки в ділянках «1–4» і «4–3» будуть протилежними йому.

Звідси випливає другий закон Кірхгофа: в замкненому водопровідному контурі сума втрат напору на ділянках з потоками, направленими за годинниковою стрілкою, дорівнює сумі втрат напору на ділянках з потоками, направленими проти годинникової стрілки.

Задача визначення втрат напору в однокільцевій мережі зводиться до розв’язування рівняння (3.22) відносно невідомої втрати напору на будь-якій ділянці.

Зрозуміло, що для багатокільцевої водопровідної мережі другий закон Кірхгофа повинен справджуватися для кожного кільця. Умовно вважають, що витрати в кільці направлені за годинниковою стрілкою є додатними, а проти годинникової стрілки – від’ємними. Тоді умовний баланс втрат напору в багатокільцевій мережі можна сформулювати так: алгебраїчна сума втрат напорів у кожному кільці водопровідної мережі при замкненому її обході дорівнює нулю.

Для визначення втрат напору в кільцевій мережі зручно користуватись поняттям гідравлічного опору трубопроводу. Тоді згідно з рівнянням (3.12) другий закон Кірхгофа для кожного кільця запишеться

. (3.23)

Рівняння (3.23), складені для усіх кілець мережі, називаються контурними рівняннями.

Після початкового розподілу потоків, який виконується приблизно і з дотриманням лише першого закону Кірхгофа, сума втрат напору в кільцях, як правило, не відповідає умовам другого закону Кірхгофа. Якщо хоча б в одному з кілець не справджується рівняння (3.23), гідравлічний розрахунок вважається незакінченим. Для завершення розрахунку необхідно визначити дійсний розподіл потоків в мережі. Тобто виконати так звану «внутрішню ув’язку кілець».

Внутрішня ув’язка кільцевої водопровідної мережі – це знаходження таких витрат води на ділянках, при яких самі витрати відповідають вузловим рівнянням, а втрати напору в них відповідають контурним рівнянням.

Таким чином задача гідравлічного розрахунку кільцевої водопровідної мережі зводиться до розв’язування лінійних вузлових рівнянь (3.21) (одне рівняння перетворюється на тотожність) та нелінійних контурних рівнянь (3.23). Тут – кількість вузлів мережі, а – кількість її кілець.

Розв’язування систем нелінійних рівнянь є складною задачею. Для цього широко використовується метод Ньютона та його чисельні модифікації. Суть його полягає у тому, що попередньо задаються початковими наближеннями невідомих витрат на ділянках (зрозуміло, що цими наближеннями можуть бути витрати, визначені після попереднього розподілу потоків), вважаючи їх відомими. До цих витрат додають невідомі поправки й отриману суму підставляють у початкові рівняння. Розкладають початкові рівняння в ряд, обмежуючись лінійними членами, отримують систему лінійних рівнянь, яку потім розв’язують, знаходячи невідомі поправки.

Розв’язування систем лінійних рівнянь може виконуватися багатьма відомими універсальними методами, але для багатокільцевих мереж це розв’язування досить громіздка процедура. Є декілька спеціалізованих методів ув’язки кільцевої мережі: Лобачова-Кросса, Андріяшева, Сироткіна, Васильченка, Койди, Яресько, Білана. В сучасних умовах найзручнішим з них є метод Лобачова-Кросcа [4], який і пропонується студентам використати в розрахунково-графічній роботі.

В цьому методі вдало використано поняття циркуляційних (контурних) витрат в кільцях мережі, через які виражаються усі величини поправок до витрат в її ділянках. Це поняття легко ілюструється на прикладі кільцевої мережі. Перед початком ув’язувальних розрахунків будують ще одну схему мережі, яку називають розрахунковою (рисунок 3.5). На неї наносять головні результати розрахунків.

Оскільки після початкового розподілу потоків рівняння (3.23) не справджуються, то алгебраїчна сума втрат напору в кожному кільці відмінна від нуля. Цю відмінність від нуля називають «нев’язкою» і позначають « », де – номер кільця. Зрозуміло, що «нев’язка» може бути додатною чи від’ємною. Величини та знаки «нев’язок» дають уявлення про ступінь та характер відмінності взятого початкового розподілу потоків від того, яке задовольняє рівнянням (3.23).

Якщо, наприклад, в кільцевій мережі (дивись рисунок 3.4) після попереднього розподілу потоків «нев’язки» в усіх кільцях вийшли додатними, то це означає, що перевантаженими відносно істинного розподілу витрат виявились верхні та праві ділянки в кожному кільці (тобто розрахункові витрати в них завищені) і недовантаженими нижні та ліві (розрахункові витрати занижені). Розрахунковим витратам, отриманим після попереднього потокорозподілу, як початковому наближенню до розв’язку, нев’язкам напору та контурним витратам на цьому етапі розрахунків зручно присвоїти верхній індекс «0»: , , .

Очевидно, що додання до розрахункових витрат ділянок в кожному кільці деякої додаткової витрати по замкненому контуру в напрямі, зворотному до знаку «нев’язки», призводить до її зменшення, тобто до «ув’язки» кільця. Саме цю додаткову витрату називають циркуляційною або контурною і позначають «± ». Очевидно також, що ця контурна витрата має бути за абсолютною величиною тим більшою, чим більшою є абсолютна величина відповідної «нев’язки».

Напрям додання таких контурних (ув’язувальних) витрат в усіх чотирьох кільцях показано на рисунку 3.5 круговими стрілками. Величину ув’язувальних витрат потрібно додавати до величини розрахункових витрат тих ділянок, напрям руху води в яких збігається з їх напрямком руху і віднімати від тих, які не збігаються з їх напрямком. В результаті додання контурних витрат будуть отримані поправки до початкового розподілу потоків на ділянках мережі .

У зовнішньому контурі мережі (ділянки «1–2», «2–3», «3–4», «4–6», «6–9», «9–8», «8–7», «7–1») кожна ділянка входить лише у одне кільце. Тому для зовнішнього контуру поправки до витрат кожної ділянки дорівнюють абсолютним значенням контурних витрат відповідного кільця. Так, для ділянок «1–2» та «2–3» напрям розрахункових витрат в яких протилежний напряму контурної витрати першого кільця поправки дорівнюватимуть контурній витраті з протилежним знаком «– », аналогічно в ділянках «3–4» та «4–6» – контурній витраті другого кільця з протилежним знаком «– » і т. д.

Витрати води в цих ділянках після першого виправлення дорівнюватимуть , і т. д. (тут верхній індекс І означає значення витрати після першого виправлення та поправки при першому виправленні, далі, при використанні метода послідовних наближень, може бути друге виправлення – верхній індекс ІІ, третє виправлення – індекс ІІІ і т. д.).

В ділянках, які є спільними для двох сусідніх кілець, слід додати з відповідними знаками контурні витрати обох кілець. Так ділянка «1–5» є спільною для першого та третього кілець мережі. Отже поправка до її розрахункової витрати буде складатися з від’ємної контурної витрати кільця І, оскільки вони протилежно направлені, і додатної контурної витрати кільця ІІІ, оскільки їх напрями збігаються. Розрахункова витрата на цій ділянці після першого виправлення складе .

Для наочності проміжні результати ув’язувальних розрахунків наносять на схему. Розрахункові витрати прив’язують поличками до стрілок, що показують напрям руху води на ділянках, а контурні – до кругових стрілок. Розрахункові значення величин після попереднього розподілу потоків розміщують на першій нижній поличці, результати першого другого та, при необхідності, подальших виправлень розміщують на більш високих поличках (другій знизу, третій знизу і т. д.).

Відповідно до сказаного раніше поправкові витрати усіх ділянок мережі, які є розв’язками системи лінійних рівнянь, отриманої методом Ньютона з початкової системи нелінійних рівнянь, виражаються через контурні витрати кілець. При цьому число невідомих поправок скорочується і стає рівним числу кілець у мережі.

Баланси витрат у вузлах (вузлові рівняння), які досягнуті при початковому розподілі потоків, автоматично задовольняються при кожному доданні контурних витрат, тобто при кожному перерозподіленні потоків ділянками мережі.

Задача гідравлічного розрахунку зводиться до розв’язування системи лінійних рівнянь відносно контурних витрат в кільцях водопровідної мережі.

Для реалізації методу Лобачова-Кросса спочатку потрібно визначити «нев’язки» у кожному кільці мережі за абсолютним значенням та знаком. Числові ж значення контурних витрат пропонується знаходити за формулами:

для квадратичної зони

, (3.24)

для перехідної зони

, (3.25)

де – номер кільця;

– показник неквадратичності ( = 1,85  2).

За цими формулами контурні витрати також отримують з відповідним знаком. Якщо отримано зі знаком «+», то контурну витрату в кільці потрібно додавати за годинниковою стрілкою. Якщо має знак «–», то проти годинникової стрілки.

Після додання контурних витрат необхідно визначити нові розрахункові витрати усіх ділянок мережі, так звані витрати після першого виправлення . Маючи нові розрахункові витрати, користуючись знайденими раніше значеннями повних гідравлічних опорів трубопроводів, за формулою (3.12) знаходять нові значення втрат напору в ділянках мережі. Після цього визначають нові значення «нев’язок» напору в кожному кільці (верхній індекс «І» означає «нев’язка» після першого виправлення).

Оскільки контурні (циркуляційні) витрати не тільки зменшують «нев’язку» у -тому кільці, але й впливають також на зміну «нев’язок» у сусідніх кільцях через спільні з ними ділянки, в деяких кільцях «нев’язки» після першого виправлення можуть не тільки зменшитися по модулю, але навіть змінити свій знак. Можливі навіть випадки, коли в окремих кільцях вони збільшаться. Цього не потрібно лякатися, оскільки ув’язується не окреме кільце, а мережа в цілому. Необхідно уважно слідкувати за знаками отриманих «нев’язок», адже вони впливають на знаки подальших контурних витрат у кільцях. На рисунку 3.5 показано напрями контурних витрат лише після попереднього розподілу потоків.

Величини є вихідними для проведення другого виправлення (при необхідності). Воно виконується за тим самим алгоритмом і закінчується визначенням величин «нев’язок» . Такі виправлення належить повторювати до того часу, поки величини нев’язок у всіх кільцях не стануть меншими допустимого значення. Після цього потрібно перевірити нев’язку у зовнішньому контурі, що складається з ділянок по периметру мережі. Якщо нев’язка у зовнішньому контурі перевищує допустиму, то потрібно провести додаткове виправлення за тим самим алгоритмом. У практиці проектування мереж водопостачання допустимою величиною нев’язки вважають 0,5 м у кожному з внутрішніх кілець і 1,0 ÷ 1,5 м у зовнішньому контурі мережі. Виконання цих умов свідчить про закінчення ув’язки.