Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного применения.

Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

Доказательство: пусть А и В – произвольные случайные события. Поскольку в суммах:

А+В = А+(В-АВ)

В = АВ+(В-АВ)

слагаемые являются несовместными, то в соответствии с аксиомой (3) вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Р (А+В) = Р(А)+Р(В-АВ)

Р(В) = Р(АВ)+Р(В-АВ) =>

Р(В-АВ) = Р(В)-Р(АВ)

Р (А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Если события А и В несовместны, то событие А*В невозможно и Р(А*В) = 0, следовательно для несовместных событий справедливо соотношение:

Р (А+В) = Р(А)+Р(В) – вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Определим вероятность суммы 3-х событий:

Р (А+В+С) = Р(А+D) = Р(А)+Р(D)-Р(А+D)

Р (D) = Р(В+С) = Р(В)+Р(С)-Р(В*С)

=Р(А*В)+Р(А*С) - Р(А*В*А*С)

А*В*А*С = АВС

Р (А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(В*С)-Р(АВ)-Р(АС)+Р(АВС)

Если события А, В и С попарно несовместны, то Р (А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С).

Вероятность суммы 4-х событий:

Р (А+В+С+D) = Р(А)+Р(В)+Р(С)+Р(D)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(АD)-Р(ВС)-Р(ВD)-Р(СD)+Р(АВС)+ Р(АВD)+ Р(АСD)+ Р(ВСD)-Р(АВСD).

Аналогичным образом может быть рассмотрена сумма любого количества событий.

Пример : (1) определить Р(А+В).

Р (А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(А*В) = 1/2+1/3-1/6 = 2/3

Пусть А и – противоположные события. Т.к. противоположные события несовместны, то:

Р(А + ) = Р(А)+Р( )

Т.к. сумма противоположных событий является достоверным событием, то

Р(А)+Р( ) = 1

Теорема умножения вероятностей

Условной вероятностью Р(А/В) называется вероятность события А при условии, что событие В произошло.

Условная вероятность определяется:

Р(А/В) = ,

Покажем справедливость данного соотношения на основе геометрического определения вероятностей.

Из определения условной вероятности следует:

Аналогично, если рассмотрим условную вероятность Р(В/А), получим:

Р(В/А)= Р(А*В)=

Вероятность произведений событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, при условии, что первое произошло.

.

Получим вероятность 3-х событий:

Если события А и В независимы, то:

Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Условия независимости событий:

Р(А/В) =

Р(В/А) =

Получим вероятность 4-х событий:

Аналогично может быть рассмотрено произведение любого количества событий.

Р(А*В) = 0 – несовместные события

– независимые события

Пример: показать, зависимы ли события:

Р(А/В) =

Несовместные события зависимы.

Пример: (1)

Р(А*В)

Р(А) Р(В)

А и В независимы.

Формула полной вероятности

Обобщение теорем сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности:

Если событие А может наступить совместно с одним из несовместных событий , образующих полную группу, то вероятность события А вычисляется по формуле:

Доказательство: по условию события образуют полную группу, т.е. .

Используя свойство умножения на достоверное событие и дистрибутивности, получаем:

Применяя теорему сложения для несовместных событий, получаем:

Применяя далее теорему умножения, получаем:

Р(А)

Р(А)

Пример:

Р(А) = 0,5*0,2+0,2*0,5+0,3*0,4 = 0,32

(2) Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен с первого раза.

М – 10

Ж – 4

СЗТЧ, студент, сдающий экзамен, - М

СЗТЧ, студент, сдающий экзамен, - Ж

Р(А) = *0,2+ *0,8 = 0,37