Лабораторная работа №3

Исследование систем управления с помощью имитационного моделирования.

1.Общие сведения.

Под имитационным моделированием понимается численный метод проведения на ЭВМ экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение систем для определения их функциональных характеристик. Основой имитационного моделирования является вычислительный эксперимент.

При имитационном моделировании на ЭВМ обычно выделяют следующие этапы исследования:

1.Формулировка проблемы (постановка задачи).

2.Построение математической модели функционирования системы.

3.Составление алгоритма, программы, ее отладка на ЭВМ.

4.Планирование вычислительных экспериментов.

5.Проведение вычислительных экспериментов.

При имитации функционирования систем на ЭВМ построенная математическая модель преобразуется в моделирующий алгоритм, в котором сохраняются логическая структура, последовательность протекания процессов во времени, характер и состав информации о состоянии процессов.

ЭВМ представляют собой устройства дискретного типа, а потому и моделирующий алгоритм должен являться дискретной аппроксимацией построенной математической модели функционирования системы. Особенность имитации поведения исследуемой системы на ЭВМ сводится к определению правила развертывания квазипараллельных процессов функционирования множества элементов в системе в последовательный моделирующий алгоритм.

В настоящей работе применяется наиболее простой вариант решения данной задачи. Интервал времени [0;Т], в течении которого рассматривается работа системы, разбивается на интервалы длиной t , из-за чего данный способ решения получил название принципа t.

В пределах каждого интервала t последовательно вычисляются приращения всех значений переменных в модели, и производится соответствующее изменение состояния отдельных элементов модели. При достаточно малых t получается хорошее приближение имитируемых процессов к процессам в реальной системе с параллельным выполнением операций.

Обычно такой способ построения имитационных моделей используется при моделировании непрерывных динамических систем. Принцип t является наиболее универсальным принципом построения моделирующих алгоритмов, хотя и наименее экономичным с точки зрения вычислений на ЭВМ.

2.Методы имитации случайных факторов при моделировании систем.

Базовой последовательностью случайных чисел, используемой для формирования в ЭВМ элементов различной природы, с различными законами распределения, является совокупность случайных чисел с равномерным законом распределения на интервале [0;1]. Существует несколько способов получения таких чисел. Простейшим примером генератора случайных чисел является рекуррентное соотношение:

Здесь С – постоянное число 0<С<1 с четырьмя цифрами после запятой; Х0- число такого же формата(Х0 должно быть задано).

Пример С=0,2548

Х0=0,9351

Если имеется последовательность чисел х0, x1, x2,…..xi,…равномерно распределенных на интервале[0,1], то можно определить последовательность y0, y1, y2…yi,…,имеющую заданную плотность распределения f(y) из решения уравнения:

Пример. Получить последовательность чисел{yi},имеющих показательное распределение:

В соответствии с (2)имеем:

В некоторых случаях уравнение(2) аналитически решить трудно. В этом случае либо применяются численные методы его решения, либо эмпирические формулы. Например, величина u будет иметь нормальное распределение с параметрами m_u =0_; s_n=1

Обычно достаточно принять .

Для получения нормальной последовательности с параметрами m_y=a; s_y=s достаточно выполнить линейное преобразование:

y=su+a (4)

Определение объема вычислительных экспериментов.Допустим необходимо определить число экспериментов N для оценки некоторого показателя эффективности E, являющегося функцией параметров системы, алгоритма или структуры. Для этого пользуются формулой:

где – точность оценки; – аргумент нормального закона распределения, соответствующий заданной доверительной вероятности и определяемый по таблицам Лапласа, т.е.

Обычно среднее квадратичное отклонение S_E неизвестно.

Поэтому предварительно проводится серия вычислительных экспериментов, в ходе которых оценивается S_E, а затем вычисляется необходимый объем эксперимента по (5).

Методика расчета последующих состояний типовых динамических звеньев.

1. Интегрирующее звено:

X W(p) Y

С учетом дискретного характера времени, производную представим в виде отношения приращений:

Перед началом расчетов Y(0) должно быть задано.

2. Дифференцирующее звено:

Перед началом расчетов X(0) должно быть задано.

3.Аппериодическое звено:

Перед началом расчетов Y(0) должно быть задано.

Пример. Дана система автоматического управления в виде структурной схемы рис.1 Здесь обозначено:

Х F

Н.Э Х- вход системы;

У- выход системы

F- возмущающее воздействие

Н.Э.-нелинейный элемент

P

y

Исходные данные:

1. Значения параметров структурной схемы:

Т₁=2; Т₂=1; Т₃=0,5; К₁=0,5; К₂=2

1. Зависимость выхода нелинейного элемента от входа:

Х_вых=Х²_вх

2. Закон изменения входной переменной:

4.Шаг квантования независимой переменной t по времени при машинной имитации:

5.Закон распределения случайной величины F: F распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 0,4 и средним квадратическим отклонением 0,3.

6.Начальные состояния инерционных звеньев: все выходы инерционных звеньев в момент t=0 равны нулю.

Требуется методом рассчитать процесс изменения выхода системы у(t) на интервале Т=3

Вначале преобразуем структурную схему системы и введем промежуточные переменные (рис.2):

F

Н.Э

Рис.2.

Основные соотношения между переменными имеют вид:

Для определения количества расчетных точек заданный временной интервал разделим на шаг квантования по времени :

Порядок расчета переменных Х в вычислительном алгоритме должен быть таким, чтобы на очередном i-ом шаге правые части расчетных соотношений были определены. С учетом этого вычислительный алгоритм имеет вид:

k =1.8 R₀,с-заданы

Перед началом расчетов необходимо задать (в соответствии с п.6 задания).R₀=0,2549; C=0,9162 – произвольные числа для генератора случайной последовательности R_k. Первый шаг вычислений для i=1 (момент времени t=t=0,05) имеет вид:

и т.д. для i от 2 до 60.

Задание. для заданной структурной схемы и ее параметров методом рассчитать процесс изменения выхода системы y(t) на интервале

С использованием ЭВМ исследовать зависимость от заданного параметра системы при изменении этого параметра на 20% в обе стороны от заданного значения.

Лабораторная работа № 4

Расчет характеристик моделей массового обслуживания.

Марковский процесс типа “гибель и размножение”может быть использован в качестве модели большого количества реальных процессов для анализа их показателей эффективности функционирования. В предельном стационарном режиме такой процесс характеризуется вероятностями состояний, которые определяются по формулам:

П ри этом граф состояний процесса имеет вид:

Здесь λj , Μj –интенсивности переходов для ј-го состояния. Существует несколько типовых систем массового обслуживания,описываемых процессами ”гибель и размножение”, для которых общие выражения (1),(2) конкретизируются.

1. Системы без потерь с неограниченным ожиданием и источником с бесконечным числом требований.

Предпологается,что система содержит N одинаковых обслуживающих каналов с одинаковой интенсивностью обслуживания

j – число требований в системе;

λj = λ

На основе формул (1),(2) получаем выражения для расчета вероятностей состояний:

Существование конечной средней очереди в системе возможно при выполнении условия:

В этом случае показатели эффективности системы расчитываются по формулам:

1.Вероятность простоя системы –P₀.

2.Среднее число требований в очереди

3.Среднее число занятых каналов

4.Среднее число требований в системе (6)

5.Среднее время ожидания требования в очереди

6. Среднее время пребывания требования в системе

2. Системы без потерь с конечным числом требований.

В подобных системах интенсивность потока поступающих требований зависит от состояния системы, поскольку общее число требований в системе остается постоянным.

Считаем , что система имеет N каналов с интенсивностью обслуживания М для каждого канала и источник, содержащий постоянное число m требований, поступающих с интенсивностью λ для каждого требования, причем m>N.

Граф состояний системы имеет вид:

Интенсивность переходов в графе определяется следующим образом:

0  j  m-1

С учетом выражений для λj, Мj на основе (1) ,(2) получаются формулы для расчета вероятностей состояний:

Показатели эффективности системы расчитываются по формулам:

1.Вероятность простоя системы –Р₀.

2.Среднее число требований в очереди

3. Среднее число занятых каналов:

3. Среднее число требований в системе:

(9)

5. Среднее время ожидания требования в очереди:

6. Среднее время пребывания требования в системе:

Пример 1. На дробильно-перегрузочный комплекс в среднем за 8 часов поступает 200самосвалов со щебнем. Комплекс включает 3 разгрузочных пункта. В среднем разгрузка самосвала занимает 4 минуты. Требуется определить основные характеристики этого объекта как системы массового обслуживания, если поток самосвалов можно считать простейшим, а время разгрузки имеет экспоненциальное распределение.

Данный объект может рассматриваться как система массового обслуживания без потерь и источником с бесконечным числом требований. Определим ее параметры.

Число каналов обслуживания равно трем (три разгрузочных пункта), т.е. N=3.

Интенсивность входного потока требований (поток самосвалов) час^-1

Интенсивность обслуживания одного канала:

час^-1=15 час^-1

Граф состояний системы:

     

0 1 2 3 ...... j ......

 2 3 3 3 3

Поскольку условие (5) выполняется <3, то по формуле (3) вычисляем вероятность простоя системы :

Затем по формулам (6) рассчитываются показатели эффективности системы.

Пример2. 6 Абонентов работают с двумя информационными центрами. В течении одного часа каждый абонент в среднем обращается с запросом на обслуживание 10 раз. Обслуживание одного абонента в среднем продолжается 3 минуты. Если оба центра на момент запроса заняты, то абонент переходит на режим ожидания. Определить показатели эффективности такого объекта как системы массового обслуживания, если поток запросов можно считать простейшим, а время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону распределения.

Поскольку обслуживаемый или находящийся в режиме ожидания абонент послать новый запрос не может, а число абонентов конечно, то данный объект может рассматриваться как система без потерь с источником конечного числа требований. Определим ее параметры.

Число каналов обслуживания равно двум, т.е. N=2.

Постоянное число требований в системе равно шести, т.е. m=6.

Интенсивность одного требования (интенсивность потока заявок одного абонента) =10ча .

Интенсивность обслуживания одного канала

час^-1

Граф состояний системы имеет вид:

6 5 4 3 2 

0 1 2 3 4 5 6

 2 2 2 2 2

По формулам (9) рассчитываются показатели эффективности системы.

Задание1. На обогатительной фабрике участок КИП и А обслуживает А единиц оборудования. В среднем через В минут каждая единица оборудования требует обслуживания одним человеком в течении С минут. Определить минимально необходимое количество электрослесарей на участке, чтобы требующий обслуживания объект находился в этом состоянии в среднем не более Д минут?

А,В,С,Д - задаются преподавателем, причем Д>С.

Пределы варьирования:

Задание2. На базу материально-технического снабжения под погрузку поступает за восьчасовую смену в среднем А автомобилей. Один погрузчик грузит автомобиль в среднем В минут. Определить минимально необходимое количество погрузчиков для того, чтобы среднее число автомобилей в очереди под погрузку не превышало С штук.

А,В,С - задаются преподавателем. Пределы варьирования: