ФИЗИКА ПРОЦЕССОВ НА СВЧ, Ч.1

Введение

Сверхвысокие частоты (СВЧ) принадлежат диапазону от 300 МГц до 300 ГГц, границы диапазона достаточно условны. Диапазон СВЧ интенсивно используется для передачи и приёма разнообразной информации во всех сферах человеческой деятельности.

Техника, связанная с использованием колебаний СВЧ, постоянно совершенствуется за счёт освоения новых передовых технологий. Главные тенденции развития, определяемые требованиями потребителей, заключаются в постоянном повышении функциональности устройств и качества их электрических характеристик при одновременном уменьшении объёмов и размеров и существенном уменьшении энергопотребления и стоимости. Передовые позиции в развитии теории и техники СВЧ занимают США, обладающие наиболее мощными интеллектуальными и материальными ресурсами в этой области. Достижения российских учёных и специалистов также признаны во всём мире. Благодаря им потребности России в изделиях диапазона СВЧ во всех отраслях хозяйства удовлетворяются внутренними источниками.

Физические процессы, происходящие в устройствах и приборах диапазона СВЧ, связаны с возбуждением и распространением электромагнитных полей. Описание таких процессов сводится к определению векторов электромагнитного поля E и H, то есть к решению электродинамических задач на основе системы уравнений Максвелла. Однако для большинства практических конструкций решение уравнений Максвелла приводит к неприемлемо громоздким результатам из-за необходимости огромного объёма вычислений, причём в этом объёме чисел теряются существенные связи между процессами в рассматриваемой системе. Поэтому во многих случаях исследование электрических характеристик электромагнитных устройств разработчики этих устройств получают с помощью таких интегральных характеристик, как токи в проводниках и напряжения между выбранными точками устройства. При этом необходимо выполнение требования, чтобы геометрические размеры устройства были малы по сравнению с длиной волны, распространяющейся в этом устройстве. Тогда в составе устройства могут быть выделены области пространства, в которых сконцентрирован один из видов энергии – либо энергия электрического поля, либо магнитного, а устройство в целом может быть представлено мысленно как связанная совокупность конденсаторов, индуктивностей, резисторов и генераторов, соединённых идеальными проводниками. Такая совокупность называется квазистационарной электрической цепью. Её можно исследовать в виде принципиальной электрической схемы, полностью абстрагированной от реальных физических размеров элементов и проводников. При этом однозначно определяются напряжения между отдельными точками схемы. Известно, что

U₁₂ =

есть напряжение между точками 1 и 2 в пространстве. Если интеграл не зависит от выбора пути интегрирования, то поле Е является потенциальным, а напряжение U₁₂ есть разность потенциалов. Очевидно, что для потенциального поля Е справедливо

=0.

Но по элементарной теории магнетизма известен закон Фарадея

= -dФ/dt,

где Ф – магнитный поток, пронизывающий контур.

Поэтому в переменных полях напряжение и разность потенциалов не могут быть отождествлены.

Электромагнитные системы, которым нельзя приписать условия квазистационарности, являются волновыми системами. Из-за отсутствия областей с концентрацией либо электрического, либо магнитного полей они называются системами с распределёнными параметрами. Размеры волновых систем обычно многократно превышают длину распространяющихся в них электромагнитных волн, поэтому размеры(как продольные, так и поперечные по отношению к направлению распространения волн) часто являются факторами, во многом определяющими электрические свойства системы. Первой подробно исследованной системой с распределёнными параметрами стала "длинная линия", то есть линия передачи, длина которой сравнима с длиной передаваемой по ней волны λ. Свойства линии характеризовались первичными параметрами: погонной ёмкостью C_п (Ф/м), погонной индуктивностью L_п (Гн/м), погонным сопротивлением активных потерь в проводниках R_п (Ом/м) и погонной проводимостью G_п (См/м). Исследовался короткий отрезок линии, который можно было считать квазистационарным четырёхполюсником и к которому поэтому можно было применить законы Кирхгофа. Переход к бесконечно малым пределам позволял получить дифференциальные уравнения, решения которых соответствуют волновому процессу в линии в величинах напряжения и тока.

Строгий анализ на основе уравнений Максвелла показал, что полученные по методу Кирхгофа и Томсона решения являются приближёнными: они применимы, если поперечные размеры линии малы по сравнению с λ и если по одному из проводников ток поступает к нагрузке . а по другому возвращается к генератору. Именно при таких условиях в линии распространяется поперечная электромагнитная волна ТЕМ (или Т – волна), основным свойством которой является отсутствие в ней продольных составляющих векторов E и H.

Было также установлено, что направленная передача волн возможна в линиях принципиально иной структуры – в полых волноводах, представляющих собой металлические трубы, чаще всего прямоугольного или круглого сечений. Очевидно, что волноводы уже не могут быть описаны простой квазистационарной моделью хотя бы потому, что в них отсутствуют прямой и обратный проводники. Структура электромагнитных полей в волноводах существенно сложнее по сравнению с ТЕМ – волнами.

В технике СВЧ используется широкая номенклатура элементов и устройств, необходимых для построения комплексных систем различного назначения. Разнообразие этих элементов и устройств многократно умножается возможностью и/или необходимостью их физической реализации на различных типах линий передачи СВЧ, а также практически неограниченным количеством вариантов конструктивного воплощения подлежащего разработке устройства. Естественно, что каждая модификация разработки отличается от других своей конфигурацией электромагнитного поля и поэтому должна отличаться и по электрическим характеристикам. Отыскание приемлемого варианта в наше время становится невозможным без компьютерного моделирования САD; с другой стороны, понимание сути конкретной программы САD, а тем более разработка новой программы требуют от специалиста СВЧ знания основ, последних достижений и главных направлений развития этой сложной, но очень интересной и перспективной техники.

Тема 1.Законы распространения энергии

В ПЕРЕДАЮЩИХ ЛИНИЯХ

§1.Уравнения состояния регулярной линии передачи

Линия передачи (ЛП) с неизменными геометрией и свойствами формирующих её материалов вдоль продольной координаты называется регулярной. Изучаемые линии относятся к линейным системам , для которых справедлив принцип суперпозиции. Поэтому достаточно рассмотреть свойства ЛП при возбуждении её гармоническим колебанием с частотой ω. При воздействии на ЛП сигналами сложной формы реакция может быть определена с помощью интегральных преобразований.

ЛП на СВЧ является системой с распределёнными параметрами, в которой в строгом смысле не могут быть применены законы Кирхгофа. Однако при представлении ЛП в виде каскадного соединения малых отрезков длиной

z каждый, в пределе при z 0 эти отрезки допускают описание методами теории цепей, но уже в виде не алгебраических, а дифференциальных уравнений.

Электрические свойства малых отрезков-четырёхполюсников однозначно задаются первичными параметрами: L_{п ,}C_п, R_п и G_п , образующими погонное комплексное сопротивление

Z_п = R_п + iωL_п

и погонную комплексную проводимость

Y_п = G_п + iωC_п

Например, можно изобразить математическую модель элементарного четырёхполюсника в виде П-образной схемы (рис.1.1),включающей в себя последовательное сопротивление Z_п· z и параллельную проводимсть Y_п· z.

Рис. 1.1.

Обходя внутренний контур в указанном на рисунке направлении и с учётом положительного направления токов на основании первого и второго законов Кирхгофа можем записать:

Ú(z+ z) – Ú(z)+Z_пÎ(z) z = 0 (1.1)

ĺ (z)= Î(z+ z)+Y_пÚ(z+ z) z (1.2)

Эквивалентная запись выглядит следующим образом:

(Ú(z+ z) – Ú(z))/ z = -Z_пÎ(z)

(Î(z+ z) – Î(z))/ z= -Y_пÚ(z+ z) (1.3)

В результате предельного перехода при z 0 равенства (1.3) преобразуются в систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

dÚ/dz = - Z_пÎ

dÎ/dz= -Y_пÚ (1.4)

Эти уравнения называются телеграфными, поскольку были получены при исследовании линий дальней телеграфной связи.

После дифференцирования обоих уравнений системы (1.4) последнюю можно свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка либо относительно напряжения, либо относительно тока:

d²Ú/dz²-Z_пY_пY=0 (1.5)

d²Î/dz²-Z_пY_пÎ= 0 (1.6) (1.6)

Уравнения вида (1.5) и (1.6) называются уравнениями Гельмгольца. Решать надо одно из этих уравнений, второе решение найдётся из системы (1.4).

Для решения уравнения Гельмгольца введём обозначение:

γ =(Z_пY_п )^0.5 (1.7)

и назовём γ коэффициентом распространения. В общем случае

γ = α+iβ (1.8)

где α и β имеют одинаковые размерности 1/м; α- коэффициент ослабления (затухания ); β – коэффициент фазы (фазовая постоянная ).

Общее решение уравнения Гельмгольца таково:

Ú(z) = Аe^-γz + Вe^γz (1.9)

Рассмотрим вначале случай отсутствия омических потерь в линии, то есть Z_п = iωL_п и Y_п = iωC_п. Тогда из (1.7) следует

γ = iβ = iω(L_пC_п)^0.5

Для первого слагаемого в правой части (1.9) можно положить Ú = U_me^-iβz, или переходя к мгновенному значению напряжения

Ú(z,t) = Re(Ú(z)e^iωt) = U_mcos(ωt – βz) (1.10)

Выражение (1.10) описывает монохроматическую волну, распространяющуюся вдоль ЛП в сторону возрастания координаты z (рис.1.2). При t=0 U(z,0) = U_mcosβz, то есть напряжение есть косинусоида с пространственным периодом

z_п = λ = 2π/β , (1.11)

который называют длиной волны. Следовательно, коэффициент фазы β есть пространственная частота волнового процесса. При t > 0 косинусоида сместится вправо относительно случая t = 0. При этом полная фаза волнового процесса

φ = ωt – βz (1.12)

Рис 1.2.

Уравнение, определяющее положение точек одинаковой фазы на косинусоиде

ωt - βz= const , (1.13)

а скорость перемещения любой такой точки есть фазовая скорость V_ф. Для её определения выполняем:

z = (ωt – const) / β; V_ф = dz/dt = ω/β. (1.14)

Для линии без потерь β =ω , поэтому

V_ф = (1.15)

Аналогично для второго слагаемого формулы (1.9) можно получить

U(z,t) = U_мcos(ωt+βz) (1.16)

Положение точек равных фаз определяется здесь уравнением ωt+βz=const, так что с ростом t координата z должна уменьшаться. Поэтому (1.16) соответствует волне, бегущей в отрицательном направлении оси Z с той же скоростью V_ф. Прямая (exp(- iβz)) и обратная (exp(iβz)) волны являются двумя линейно независимыми решениями уравнения Гельмгольца и никак не связаны друг с другом.

Подводя итог сказанному, можно заключить :

1. Волновой процесс в ЛП в общем случае есть сумма прямой и обратной волн.

2. В любой фиксированной точке оси Z имеет место простое гармоническое колебание.

3. Фазовый сдвиг между колебаниями в различных точках z линейно связан с расстоянием.

4. Точки фиксированной фазы перемещаются в линии с фазовой скоростью V_ф. На величину V_ф не распространяется ограничение предельного свойства скорости света.

Для ЛП с потерями имеем: Ú(z)=U_мe^­γz=U_мe^­αze^­βz, откуда

U(z,t)=U_мe^-αzcos(ωt ­ βz) (1.17)

следовательно,

|Ú(z)| = U_мe^-αZ , (1.18)

то есть амплитуда колебаний в ЛП с потерями экспоненциально убывает по мере распространения волны.

Из (1.18) следует, что если |Ú₁| и |Ú₂| есть амплитуды в точках 1 и 2 ЛП, расстояние между которыми 1м, и волна распространяется от точки 1 к точке 2, то

α=ln(Ú₁/Ú₂) , Нп/м (Непер/метр) (1.19)

В радиотехнике чаще используют десятичные логарифмы и логарифмические единицы - децибелы (дБ). При этом вводят погонное затухание Δ в ЛП :

Δ = 20lg(Ú₁/Ú₂) , дБ/м (1.20)

Величины α и Δ связаны соотношением

∆ = 20α∙lg2,718 = ~8,686α