Пример выполнения задания
Задача. Парашютист спрыгивает с высоты h0 и раскрывает парашют на высоте h1. Определить, будет ли скорость приземления безопасной.
Цель моделирования. Определить конечную скорость движения тела и сравнить ее с безопасной (10 м/с).
Формализация. Будем считать, что форма человека близка к сферической, форма парашюта – полусферической. Тело характеризуется массой m, радиусом (r- человека и r1 – парашюта) и площадью поперечного сечения ( S и S1 соответственно). Среда характеризуется плотностью ρ и вязкостью μ. В ходе движения меняются время t, скорость v и высота h. Задача состоит в том, чтобы определить vкон в момент времени, когда h станет близкой к нулю.
Построение математической модели. Воспользуемся моделью (2):
Выбор метода исследования. Применим для решения системы дифференциальных уравнений метод Эйлера:
;
;
Построение компьютерной модели и ее проверка Выберем для моделирования среду табличного процессора Excel. Для проверки модели на адекватность рассмотрим движение без сопротивления среды (k1=0 и k2=0)
Свободное падение тела |
|||||||||
Параметры движения |
Параметры тела |
Параметры среды |
Коэффициенты |
||||||
Время t0 |
0 |
Масса m |
80 |
Вязкость |
0,0182 |
k1 |
0,000 |
||
Скорость v0 |
0 |
Радиус r |
0,3 |
Плотность |
1,2 |
k2 |
0,000 |
||
Высота h0 |
1000 |
Радиус r1 |
1,5 |
|
|
|
|
||
Высота h1 |
800 |
Площадь S |
0,053 |
|
|
|
|
||
Шаг ∆t |
0,5 |
Площадь S1 |
7,069 |
|
|
|
|
||
|
|
Коэффициент с |
0,40 |
|
|
|
|
||
|
|
Коэффициент с1 |
0,55 |
|
|
|
|
||
Рис. 2 Исходные данные задачи о свободном падении (сопротивление среды не учитывается)
Изменение скорости и высоты со временем
t |
v |
h |
||
0 |
0 |
1000 |
||
0,5 |
4,9 |
1000,0 |
||
1 |
9,8 |
997,6 |
||
1,5 |
14,7 |
992,7 |
||
2 |
19,6 |
985,3 |
||
2,5 |
24,5 |
975,5 |
||
3 |
29,4 |
963,3 |
||
3,5 |
34,3 |
948,6 |
||
4 |
39,2 |
931,4 |
||
4,5 |
44,1 |
911,8 |
||
5 |
49,0 |
889,8 |
||
5,5 |
53,9 |
865,3 |
||
6 |
58,8 |
838,3 |
||
t |
v |
h |
||
6,5 |
63,7 |
808,9 |
||
7 |
68,6 |
777,1 |
||
7,5 |
73,5 |
742,8 |
||
8 |
78,4 |
706,0 |
||
8,5 |
83,3 |
666,8 |
||
9 |
88,2 |
625,2 |
||
9,5 |
93,1 |
581,1 |
||
10 |
98,0 |
534,5 |
||
10,5 |
102,9 |
485,5 |
||
11 |
107,8 |
434,1 |
||
11,5 |
112,7 |
380,2 |
||
12 |
117,6 |
323,8 |
||
12,5 |
122,5 |
265,0 |
|
|
В отсутствие сопротивления среды скорость растет со временем по линейному закону, что соответствует аналитическому решению уравнений
Добавим
силу сопротивления (
и
)
Свободное падение тела с учетом сопротивления |
|||||||
Параметры движения |
Параметры тела |
Параметры среды |
Коэффициенты (без парашюта) |
||||
Время t0 |
0 |
Масса m |
80 |
Вязкость |
0,0182 |
k1 |
0,045 |
Скорость v0 |
0 |
Радиус r |
0,3 |
Плотность |
1,2 |
k2 |
0,013 |
Высота h0 |
1000 |
Радиус r1 |
1,5 |
|
|
Коэффициенты (с парашютом) |
|
Высота h1 |
800 |
Площадь S |
0,053 |
|
|
k1 |
0,515 |
Шаг ∆t |
0,5 |
Площадь S1 |
7,069 |
|
|
k2 |
2,333 |
|
|
Коэффициент с |
0,40 |
|
|
|
|
|
|
Коэффициент с1 |
0,55 |
|
|
|
|