25

Линейное программирование

Оптимизационная задача была сформулирована в общем виде: найти переменные х₁, х_{2, …,} х_п, удовлетворяющие системе неравенств (уравнений)

φ_i (х₁, х_{2, …,} х_п) <= b_i, i=1,2,…,m (1)

и обращающие в максимум (минимум) целевую функцию

Z = f ((х₁, х_{2, …,} х_п)  max (2)

(Условия неотрицательности переменных, если они есть, входят в ограничения (1)).

Если критерий эффективности (2) представляет линейную функцию и функции φ_i в системе ограничений (1) также линейны, то такая задача называется задачей линейного программирования.

Понятие экономико-математической модели

Существует много различных определений понятия «модель», отличающихся друг от друга. Но это понятие знакомо каждому: игрушечный корабль – модель корабля, фотоснимок пейзажа, географическая карта – модель местности, формула – математическая модель. Под моделью будем понимать условный образ какого-либо объекта, приближенно воссоздающий этот объект с помощью некоторого языка. В экономико-математ моделях объектом является экономический процесс (например, использование ресурсов, распределение изделий между различными типами оборудования и т.п.), а языком – классические и специально разработанные математические методы.

Экономико-математическая модель – математическое описание исследуемого экономического процесса или объекта. Эта модель выражает закономерности экономического процесса с помощью математических соотношений.

Процедура экономико-математ моделирования заменяет дорогостоящие и трудоемкие натуральные эксперименты расчетами. При помощи ЭВМ можно достаточно быстро и дешево произвести сравнение многочисленных вариантов планов и управленческих решений. В результате отбираются наиболее оптимальные варианты.

Примеры построения эмм экономических задач линейного программирования

1. Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства).

Для изготовления двух видов продукции П1 и П2 используют три вида ресурсов Р1, Р2 и Р3. Известны запасы этих ресурсов В1, В2 и В3 и число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы каждого вида продукции а11, а12, а21, а22, а31, а32. Известна также прибыль, получаемая от единицы продукции П1 и П2 – соответственно С1 и С2.

Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет макс.

ЭММ задачи:

Х1 и Х2 – число единиц продукции П1 и П2 соответственно.

F = С1*Х1 + С2*Х2 (1.1)

П ри ограничениях:

а11*Х1 + а12*Х2 <= В1

а21*Х1 + а22*Х2 <= В2 (1.2)

а31*Х1 + а32*Х2 <= В3

По смыслу задачи Х1>=0, X2>=0. (1.3)

Итак ЭММ задачи: найти такой план выпуска продукции Х = (Х1, Х2), удовлетворяющий системе (1.2) и условию (1.3), при котором функция (1.1) принимает макс значение.

В общей постановке ЭММ задачи об использовании ресурсов примет вид:

Найти такой план Х = (Х1, Х2, …, Хn) выпуска продукции, удовлетворяющий системе

а11*Х1 + а12*Х2 + … + а1n*Xn <= В1

а21*Х1 + а22*Х2 + … + а2n*Xn <= В2 (1.4)

………………………….

аm1*Х1 + аm2*Х2 + … + аmn*Xn <= Вm

и условию Х1>=0, X2>=0, …, Xn>=0, (1.5)

при котором функция

F = С1*Х1 + С2*Х2 + … + Сn*Xn (1.6)

принимает макс значение.