Задания для самостоятельной работы
Задание 1. Вычислите определители четвертого порядка двумя способами: а) разложением по строке или столбцу, получив предварительно в этой строке или столбце максимально возможное число нулей; б) приведя предварительно определитель к диагональному виду.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
8)
,
9)
,
10)
.
Задание 2. Найдите матрицу обратную к матрице A двумя способами: а) с помощью алгебраических дополнений; б) с помощью элементарных преобразований (методом Гаусса).
1)А=
,
2) А=
,
3) А=
,
4) А=
,
5)А=
,
6) А=
,
7) А=
,
8) А=
,
9)А=
,
10) А=
.
Задание 3. Решите указанные матричные уравнения.
1)X
– 3AX
= E,
если A =
;
2) XAE
= B, если A
=
,
B =
;
3) AX
= B,
если A
=
,
B
=
;
4) AX
2X
= B,
если A
=
,
B
=
;
5) 2X
+ XA
= B,
если A
=
,
B
=
;
6) XA
= B,
если A
=
,
B
=
;
7) XA
+ 2X
= B,
если A
=
,
B
=
;
8) 3X
2AX
= B,
если A
=
,
B
=
;
9) 3XA
+ X
= B,
если A
=
,
B
=
;
10) XA
+ X
= B,
если A
=
,
B
=
.
Задание 4. Вычислите ранг следующих матриц.
1)A
=
,
2) A =
,
3) A =
,
4) A =
,
5) A =
,
6) A =
,
7) A =
,
8) A =
,
9) A =
,
10) A =
.
Задание 5. Выделите максимальную линейно независимую систему (базис) в данной системе векторов.
1)
a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
;
2) a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
;
3) a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
;
4) a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
;
5) a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
;
6) a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
;
7) a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
;
8) a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
;
9) a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
;
10) a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
,
a
=
;
Задание 6. Решите заданные системы двумя способами: а) по теореме Крамера; б) записать систему в матричной форме и решить её с помощью обратной матрицы.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Задание 7. Решите данные линейные системы методом Гаусса.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Задание
8. Пусть
предприятие производит n
видов продукции, используя для этого m
видов сырья. Обозначим
-
количество сырья i
– того вида необходимое для производства
одной единицы продукции j
– того вида;
-
запасы сырья j
– того вида на предприятии;
-
количество продукции i–то
го вида, выпускаемое предприятием.
Матрицу A
=
называют
матрицей затрат, вектор b
=
называют вектором ресурсов, а вектор
x
=
называют планом производства. Требуется
определить план производства, исчерпывающий
все имеющиеся на предприятии ресурсы.
Очевидно, что план производства x
удовлетворяет системе m
линейных алгебраических уравнений с n
неизвестными
или матричному уравнению Ax = b.
Найдите методом Гаусса план производства, если заданы матрица затрат A и вектор ресурсов x.
1)A
=
,
b =
;
2) A =
,
b =
;
3) A =
,
b
=
;
4) A =
,
b =
;
5) A =
,
b =
;
6)A
=
,
b =
;
7) A =
,
b =
;
8) A =
,
b
=
;
9) A =
,
b =
;
10) A =
,
b =
;
Задание 9. Найдите собственные числа и собственные векторы указанных матриц.
1)
A =
,
2) A
=
,
3) A
=
,
4) A
=
,
5) A =
,
6) A =
,
7) A =
,
8)
A =
,
9) A =
,
10) A =
,
11) A =
,
12) A =
,
13) A =
.
Библиография
А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, «Наука», 1975.
И. М. Гельфанд, Лекции по линейной алгебре, «Наука», 1971.
И. В. Проскуряков, Сборник задач по линейной алгебре, М., «Наука», 1970.
Л. И. Головина, Линейная алгебра и некоторые её приложения, «Наука», 1971.
Д. В. Беклемишев, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, «Наука», 1976.
Оглавление