Лекция 2. Комплексные числа.

7. Алгебраическая форма комплексного числа.

Определение 1: Комплексным числом z (записываемым а алгебраической форме) называется выражение z=а+ib, где а и b - действительные числа; i - так называемая мнимая единица, определяемая равенством ; а называется действительной или вещественной частью, b — мнимой частью числа z. Их обозначают так: а=Rez; b=Imz. Заметим, что знак + в этом выражении не есть знак действия, а просто это выражение нужно рассматривать как единый символ для обозначения комплексного числа.

Определение 2 Если а=0, то число 0+ib=ib называется чисто мнимым; если b=0, то получается действительное число: а+i0=а.

Определение 3 Два комплексных числа z=а+ib и z=а-ib, отличающихся только знаком мнимой части, называются сопряженными.

Определение 4 Два комплексных числа z₁=а₁+ib₁ и z₂=а₂+ib₂, считаются равными z₁=z₂, если равны в отдельности их действительные и мнимые части, то есть а₁=а₂, b₁=b₂. Понятия больше или меньше для комплексных чисел не существует.

Определение 5 Комплексное число z равно нулю тогда и только тогда, когда равны в отдельности нулю его действительная и мнимая части, то есть а=0, b=0.

7. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Всякое вещественное число геометрически можно изобразить точкой на вещественной оси и, обратно, каждой точке на оси соответствует вещественное число.

Всякое комплексное число z=а+ib можно изобразить на плоскости Оху в виде точки А(а, b) с координатами а и b. Обратно, каждой точке плоскости М(х, у) соответствует комплексное число z=х+iу.

Определение 1 Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексного переменного z.

Точкам плоскости комплексного переменного z, лежащим на оси Ох, соответствуют действительные числа (b=0).

Точкам плоскости комплексного переменного z, лежащим на оси Оу, соответствуют чисто мнимые числа (a=0).

Определение 2: На плоскости комплексного переменного z ось Оу называют мнимой осью, а ось Ох называют действительной осью.

Соединив точку А(а, b) с началом координат, получим вектор ОА, который принято считать геометрическим изображением комплексного числа z=а+ib.

Кроме записи z=а+ib употребляют z=х+iу.

7. Тригонометрическая форма комплексного числа.

Итак, геометрическим изображением комплексного числа z=а+ib является вектор, начало которого в точке (0; 0), а конец в точке (а; b). Любой вектор имеет две характеристики: модуль и направление.

Длина вектора, изображающего комплексное число z, называется модулем (абсолютной величиной) комплексного числа и обозначается r=|z.

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором, изображающего комплексное число z, называется аргументом комплексного числа и обозначается =argz.

Тогда а=rcos, b=rsin, а следовательно, комплексное число z можно представить в форме: а+ib=rcos+irsin или z=r(cos+isin).

Определение 1: Выражение z=r(cos+isin), называется тригонометрической формой записи комплексного числа z=а+ib.

Величины r и  выражаются через а и b, очевидно, так:

Аргумент комплексного числа считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки, и отрицательным при противоположном направлении отсчёта. Очевидно, что аргумент  определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого 2k, где k — любое целое число.

Замечание: Сопряженные комплексные числа а+ib и а-ib имеют равные модули, а их аргументы равны по абсолютной величине, но отличаются знаком.

Действительное число А так же может быть записано в тригонометрической форме комплексного числа, а именно:

A=|A|(cos0+isin0) при А>0,

A=|A|(cos+isin) при А<0.

Модуль комплексного числа 0 равняется нулю 0: |0|=0. В качестве же аргумента нуля можно взять любой угол . Действительно, для любого угла  имеет место равенство: 0=0(cos+isin).

Кроме алгебраической и тригонометрической форм комплексного числа имеет место показательная форма комплексного числа.

Определение 2: Выражение r·е^i, называется показательной (экспоненциальной) формой записи комплексного числа z=а+ib; r называется модулем, комплексного числа z,  — аргументом комплексного числа z.

z=r(cos+isin)=r·е^i.