Волны в упругой среде.
Рекомендуется изучить §§ 140-142 учебного пособия Т.И. Трофимова "Курс физики". — М.: Высш. шк., 2001.
Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной. В волновом процессе имеет место следующее соотношение:
λ = vT,
где λ – длина волны, Т – период колебаний, v – скорость распространения волны (фазовая скорость).
Уравнение плоской волны имеет вид:
S = Acos(ωt – r/v)=Acos(t- kr),
где S– смещение колеблющейся точки от положения равновесия, A – амплитуда колебаний, ω –циклическая частота колебаний, k= r/v = 2 π/ λ – волновое число, r – расстояние, пройденное волной от источника колебаний до рассматриваемой точки.
Разность фаз двух колеблющихся точек, находящихся на расстояниях r1 и r2, от источника колебаний, равна:
Δ=2-1= -(2 π/ λ)(r1-r2)= -(2 π/ λ)(r1-r2)= -(2 π/ λ) Δ
где Δ = r1-r2 – разность хода волн.
Уравнение стоячей волны:
s = 2Acos(kr + α) cos(ωt + β) ,
где α и β – постоянные, которые определяются начальными и граничными условиями.
A ст.в. (r) = 2Acos(kr + α) – амплитуда стоячей волны,
ст.в.= (ωt + β) – фаза стоячей волны.
Примеры решения задач.
Номера задач соответствуют учебному пособию Т.И. Трофимова "Сборник задач по курсу физики для втузов". — М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2003.
4.3. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 4 см и периодом Т = 2 с. Напишите уравнение движения точки, если ее движение начинается из положения х0 = 2 см.
4.3.
Дано: A = 4 см = T = 2 с t0 = 0 x0 = 2 см = |
4∙10-2 м
2∙10-2 м |
Решение: Уравнение гармонических колебаний x = A cos(t+0). (1) Связь циклической частоты и периода колебаний = 2π/T= 2π/2=π с-1 При t0 = 0 x = A cos(0), с другой стороны x|t = 0= x0. |
x(t) - ? |
||
Что дает x0= A cos(0). Отсюда φ0 = arcos(x0/A)= arcos(1/2)= π/3. Подставляя в (1) численные значения A, ω и 0 получим требуемое уравнение движения точки x = 0,04 cos(πt+π/3). |
||
Ответ: x = 0,04 cos(πt+π/3). |
||
4.25. На горизонтальной пружине жесткостью k = 900 Н/м укреплен шар массой М = 4 кг, лежащий на гладком столе, по которому он может скользить без трения (рис. 73). Пуля массой m = 10 г, летящая с горизонтальной скоростью v0 = 600 м/с и имеющая в момент удара скорость, направленную вдоль оси пружины, попала в шар и застряла в нем. Пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определите: 1) амплитуду колебаний шара; 2) период колебаний шара.
4.25
Дано: k = 900 Н/м M = 4 кг m = 10 г = v0 = 600 м/с |
10-2 кг |
Решение: Удар пули о шар является абсолютно неупругим и для него справедлив закон сохранения импульса P1+P2=P’. Здесь ось x направлена вдоль оси пружины в сторону полета пули; P1=mv0 – импульс пули до удара; P2=0 – импульс шара до удара; P’=(M+m)u – |
A - ? T - ? |
||
импульс шара с застрявшей пулей после удара; u скорость шара с пулей после удара. Таким образом, mv0=(M+m)u. Откуда u=mv0/(M+m). Кинетическая энергия шара с пулей после удара Ek0=(M+m)u2/2=m2v02/(2(M+m)). Под действием полученного при ударе импульса пуля с шаром, укрепленным на пружине, совершают колебания. При пренебрежении силами трения эти колебания являются гармоническими колебаниями пружинного маятника. Период колебаний которого: T=2π∙((M+m)/k)1/2=2∙3,14∙((4+0,01)/900)1/2≈6,28∙2/30≈0.419 c Из закона сохранения энергии, справедливого для гармонических колебаний: Ek0=E=Epot.max. Где E – полная механическая энергия маятника; Epot.max – максимальная потенциальная энергия маятника (Epot.max= A2k/2, A – амплитуда колебаний). Отсюда: m2v02/(2(M+m))= A2k/2. A=mv0/((M+m)k)1/2=10-2∙600/((4+0,01)900)1/2≈6/(2∙30)=0,1 м |
||
Ответ: A = 0,1 м; T=0,419 c |
||
|
||
4.28. Однородный диск радиусом R= 20 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии l= 15 см от центра диска. Определите период T колебаний диска относительно этой оси. |
||
4.28.
Дано: R =20 см = l = 15 см = |
0,2 м 0,15 м |
Решение: Диск, колеблющийся относительно оси, не проходящей через центр масс, представляет собой физический маятник. |
T - ? |
||
Период колебаний физического маятника T=2π∙(Jo/(mglc))1/2, где Jo – момент инерции относительно этой оси; m – масса диска; lc= l – расстояние от оси до центра масс. В соответствии с теоремой Штейнера Jo=Jc+ml2, где Jc – момент инерции относительно центра масс (центра диска). Так как для диска Jc=mR2/2, то окончательно получим T=2π∙(( mR2/2+ml2)/(mgl))1/2=2π∙(( (R2/(2l))+l)/(g))1/2= =2∙3,14∙(( 0,22/(2∙0,15)+0,152)/9,81)1/2=1,07 с |
||
Ответ: T=1,07 с |
||
4.118. Волна распространяется в упругой среде со скоростью v = 150 м/с. Определите частоту ν колебаний, если минимальное расстояние Δx между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 0,75 м.
4.118.
Дано: v =150 м/c Δx = 0,75 м |
Решение: Для бегущей волны фазы колебаний противоположны, если точки среды расположены на расстоянии (2∙n+1)∙λ/2, где n любое целое, λ – длина волны. |
ν - ? |
|
Отсюда следует, что Δx=λ/2 и λ=2∙ Δx. Длина волны, скорость распространения и частота связаны следующим соотношением: λ= v/ ν. Отсюда ν= v/ λ= v/(2∙ Δx)=150/(2∙0,75)=100 Гц |
|
Ответ: ν=100 Гц |
|