- •Раздел 1. Предмет, цели и задачи изучения теории электромагнитные поля и волны
- •Тема 1. Предмет, цели и задачи изучения теории электромагнитные поля и волны
- •Вопрос 1. Историческая справка.
- •Вопрос 2. Электромагнитное поле, общие понятия.
- •Вопрос 3. Операторы теории поля.
- •Вопрос 3. Скалярное и векторное представления (математические понятия).
- •Раздел 2. Основные уравнения электромагнитного поля
- •Тема 1. Основные уравнения электромагнитного поля
- •Вопрос 1. Основные положения теории электромагнитного поля
- •Вопрос 2. Уравнения Максвелла
- •Вопрос 4. Плотность электромагнитной энергии и энергия, сосредоточенная в объеме.
- •Раздел 3 Отражение и преломление плоских волн на границе раздела двух сред
- •Тема 1. Отражение и преломление плоских волн на границе раздела двух сред
- •Вопрос 1. Плоские волны произвольной ориентации. Падение плоской волны на границу раздела двух диэлектриков
- •Вопрос 2. Закон Снелиуса
- •Вопрос 3. Угол Брюстера. Условия полного прохождения волны во вторую среду.
- •Раздел 4 Общие свойства волн, распространяющихся в линиях передачи
- •Тема 1. Общие свойства волн, распространяющихся в линиях передачи
- •Вопрос 1. Направляющие системы и краевые задачи
- •Тема 2. Элементы линий передачи
- •Вопрос 1. Возбуждение электромагнитных волн в линиях передачи. Возбудители типов волн.
- •Вопрос 2. Элементы коаксиальных линий передач.
- •Раздел 5. Направляемые волны и поля в ограниченных объемах
- •Тема 1. Полые металлические волноводы.
- •Вопрос 1. Направляемые волны в прямоугольном металлическом волноводе
- •Вопрос 2. Ослабление волн при распространении в волноводе
- •Вопрос 3. Направляемые волны в круглом металлическом волноводе
- •Тема 2. Линии передачи с т волнами
- •Тема 3. Диэлектрические волноводы и оптоволоконные линии передачи.
- •Вопрос 1. Общие свойства диэлектрических волноводов
- •Вопрос 2 Диэлектрический волновод круглого сечения. Типы волн в диэлектрическом волноводе.
- •Вопрос 3. Световоды. Структура и параметры диэлектрических волноводов.
- •Вопрос 4. Квазиоптические линии передачи.
- •Раздел 6 Излучение электромагнитных волн
- •Тема 1. Излучение электромагнитных волн
Раздел 2. Основные уравнения электромагнитного поля
Тема 1. Основные уравнения электромагнитного поля
Вопрос 1. Основные положения теории электромагнитного поля
Математическую основу теории электромагнитного поля составляют уравнения Максвелла, традиционно, в технических приложениях, трактуемые как обобщения ряда эмпирических закономерностей. Так первое уравнение Максвелла является обобщением закона полного тока Ампера (теоремы о циркуляции вектора напряженности магнитного поля) и формулируется следующим образом:
(2.1)
Интеграл в левой части (2.1) имеет смысл циркуляции вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру, охватывающему линии тока. В правой части записан так называемый полный ток, являющийся алгебраической суммой величин токов проводимости и смещения
(2.2)
Второе слагаемое в правой части (2.2) представляет собой величину тока смещения, определяемую как
(2.3)
Таким образом, плотность тока смещения определяется скоростью изменения вектора электрического смещения во времени. Линии вектора плотности тока смещения замыкают линии полного тока в областях, где отсутствует электропроводность.
Взаимное расположение линий тока и контура Г показано на рис.1. Поверхность S, через которую вычисляется поток линий плотности тока в (2.1) и (2.2), опирается на контур Г.
Рис.2.1.
Запись вида (2.2) называют интегральной формой первого уравнения Максвелла. Использование теоремы о том, что циркуляция любого вектора равна потоку ротора этого вектора, через поверхность, опирающуюся на контур, по которому вычисляется циркуляция, известной под названием теоремы Стокса, позволяет получить дифференциальную форму первого уравнения Максвелла:
(2.4)
Второе уравнение Максвелла, как правило, рассматривают как обобщенный закон электромагнитной индукции Фарадея – Ленца
(2.5)
Циркуляция вектора напряженности электрического поля в левой части (2.5) имеет смысл ЭДС, наводимой переменным магнитным потоком в контуре L. При этом предполагается, что контур L пронизывается линиями магнитного поля. Соотношения между контуром и поверхностью, по которой вычисляется интеграл в правой части аналогичны предыдущему случаю. Интеграл в правой части представляет собой ни что иное, как скорость изменения во времени переменного магнитного потока, охватываемого контуром L.
Применение теоремы Стокса позволяет записать второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме следующим образом:
(2.6)
Сопоставление (2.4) и (2.6) позволяет сделать вывод о сходности структур первого и второго уравнений.
Отсутствие в правой части (2.6) слагаемого, аналогичного плотности тока проводимости, обусловлено тем обстоятельством, что носителей магнитного заряда и магнитных токов в природе не существует.
Третье уравнение Максвелла представляет собой закон Гаусса, распространенный на общий случай переменных во времени и пространстве зарядов:
(2.7)
Интеграл в левой части (2.7) представляет собой поток вектора электрического смещения через произвольную поверхность. Член в правой части имеет смысл полного заряда, заключенного в этой поверхности:
(2.7)
где V - объём, ограниченный поверхностью S, ρ - объёмная плотность электрического заряда, определяемая следующим образом:
(2.8)
Применение теоремы о равенстве потока вектора через замкнутую поверхность объемному интегралу от дивергенции, взятому по объему, ограниченному этой поверхностью, известной под названием теоремы Остроградского, можно легко получить дифференциальную форму третьего уравнений Максвелла:
(2.9)
Четвертое уравнение Максвелла по структуре аналогично третьему с нулевой правой частью, что опять-таки является следствием отсутствия в природе автономных носителей магнитного заряда:
(2.10)
Сравнительный анализ (2.9) и (2.10) говорит о том, что электрическое поле может существовать как в потенциальной (линии вектора E разомкнуты, начинаются и заканчиваются на зарядах), так и в соленоидальной (линии вектора E замкнуты) формах. Причем, потенциальная форма электрического поля создается неизменными во времени электрическими зарядами, а соленоидальная – переменными. Линии же магнитного поля всегда замкнуты.
Система уравнений Максвелла традиционно дополняется дифференциальными формулировками закона Ома, закона сохранения электрического заряда и уравнения непрерывности линий электрического тока.
Закон сохранения электрического заряда записывается следующим образом:
или, с учетом (2.8, 2.9):
(2.11)
Выражение (19) представляет собой интегральную форму закона сохранения электрического заряда. Дифференциальная форма может быть получена при помощи теоремы Остроградского:
(2.12)
Закон непрерывности линий полного тока получается после подстановки в (2.12) третьего уравнения Максвелла:
или, учитывая физический смысл производной в левой части (2.13), можно записать:
(2.14)
Иными словами, линии полного тока не имеют ни источников, ни стоков, то есть всегда замкнуты.
Под законом Ома в дифференциальной форме понимают выражение (2.11).