1.11. Визначник добутку матриць

Визначник квадратної матриці позначають (скорочення від латинської назви детермінант), або | |. Наприклад, якщо

то .

Теорема. Визначник добутку двох квадратних матриць -го порядку дорівнює добуткові їх визначників, тобто

, або . (1)

Рівність перевіримо для матриць другого порядку.

Приклад. Перевірити рівність (1) для таких матриць

Розв’язання. Обчислимо спочатку визначники заданих матриць та добуток їх

; ,

.

Знайдемо тепер добуток матриць і і теж обчислимо їх визначник

. .

Отже, .

Приклади. Знайти визначники матриць:

1. . 2 . 3. .

4. . 5. . 6. .

Для поданих матриць знайти їх добуток та обчислити визначники. Результат перевірити за допомогою теореми.

Відповіді. 1. -1. 2. 343. 3. . 4. 1. 5. . 6. .

7. 6,-6,-36. 8. -6, -33, 198.

1.12. Обернена матриця.

Поняття оберненої матриці розглянемо на прикладі квадратної матриці третього порядку, яке по аналогії можна буде узагальнити для матриць довільного порядку. Нехай

.

Означення 1. Матриця називається неособливою (невиродженою), якщо її визначник відмінний від нуля, тобто .

Якщо ж , то матриця називається особливою (виродженою).

Означення 2. Квадратна матриця називається оберненою до матри ці , якщо виконується рівність

(1)

тобто добуток цих матриць дорівнює одиничній матриці .

Теорема. Якщо матриця - неособлива ( ), то ця умова є необхідною і достатньою для існування оберненої матриці .

Доведемо необхідність. Нехай матриця має обернену , тобто . За теоремою про визначник добутку двох матриць маємо

, бо . (2)

Тому рівність (2) можлива тільки тоді, коли і .

Достатність. Нехай визначник матриці відмінний від нуля, тобто . Скорочено позначимо . Покажемо, як знайти обернену матрицю.

Для кожного з елементів матриці знайдемо відповідні їм алгебраїчні доповнення : , розмістивши їх у вигляді нової матриці відповідно розташуванню елементів в . Отримаємо

(3)

(див., розв’язаний в 1.5 приклад, де отримано матрицю із алгебраїчних доповнень разом з перевіркою вірності їх значень). Протранспонуємо матрицю , замінивши рядки стовпцями, отримаємо формулу оберненої матриці

. (4)

За допомогою теорем про розклад та анулювання для визначників третього порядку неважко перевірити, що .

Приклад 1. Знайти обернену матрицю до матриці

.

Розв’язання здійснимо у такій послідовності

1) Обчислимо визначник матриці

.

Оскільки , то існує обернена матриця.

2)Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці

; ; ; ; ; ; ; .

3) Записуємо нову матрицю за формулою (3)

.

4) За формулою (4) отримуємо обернену матрицю

.

5) перевіримо, що ,

Приклад 2. Знайти матрицю, обернену до матриці

.

Розв’язання. 1) .

2) ; ;

; .

3) .

4) .

5)

.

Приклади для самостійного розв’язання

Знайти обернені матриці для матриць:

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. .

Відповіді:

1. . 2. 3. .

4. . .5. . 6.

7. .