Новосибирский Государственный Университет, 3 курс экономического факультета
Эконометрия-I
ПОВТОРЕНИЯ
Матричная алгебра Определения
называется вектором-столбцом размерности .
называется вектором-строкой размерности .
называется матрицей размерности .
Сумма матриц и ( ): , ( )
Произведение матриц ( ) и ( ): , ( )
Скалярное произведение векторов-столбцов ( ) и ( ): .
Квадратичная форма вектора-столбца ( )и матрицы ( ): .
Произведение матрицы ( ) на скаляр : , ( )
Транспонирование матрицы ( ): , ( )
След матрицы ( ): .
Рангом ( ) матрицы называется количество линейно независимых столбцов (равное количеству линейно независимых строк). Матрица ( ) имеет полный ранг по столбцам, если . Матрица ( ) имеет полный ранг по строкам, если .
Матрица ( ) называется невырожденной (неособенной), если . В противном случае она называется вырожденной.
Матрица ( ) называется диагональной, если при . Для диагональной матрицы используется обозначение .
Матрица ( ) называется единичной.
Матрица ( ) называется симметричной (симметрической), если .
Матрица ( ) называется верхней треугольной, если при . Матрица ( ) называется нижней треугольной, если при .
Матрица ( ) называется обратной матрицей к матрице ( ), если
.
Матрица ( ) называется идемпотентной, если .
Векторы-столбцы ( ) и ( ) называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: .
Матрица ( ), где , называется ортогональной, если ее столбцы ортогональны, т.е. .
Матрица ( ) называется положительно определенной, если для любого вектора-столбца ( ) выполняется . Матрица ( ) называется отрицатльно определенной, если для любого вектора-столбца ( ) выполняется .
Матрица ( ) называется положительно полуопределенной (неотрицательно определенной), если для любого вектора-столбца ( ) выполняется . Матрица ( ) называется отрицательно полуопределенной (неположительно определенной), если для любого вектора-столбца ( ) выполняется .
Определителем матрицы ( )называется , где — номер любой строки, а матрицы ( ) получены из матрицы путем вычеркивания -й строки и -го столбца.
Для матрицы ( ) уравнение называется характеристическим уравнением. Решение этого уравнения, называется собственным числом (собственным значением) матрицы . Вектор ( ) называется собственным вектором матрицы , соответствующим собственному числу , если .
Прямое произведение (произведение Кронекера) матриц ( ) и ( ):
, ( ).
Свойства матриц
Сложение матриц
(коммутативность).
(ассоциативность).
Произведение матриц
В общем случае (свойство коммутативности не выполнено).
(ассоциативность).
и (дистрибутивность).
для матрицы ( ).
.
Ранг
Для матрицы ( ) выполнено .
Если матрица ( ) является невырожденной, то для матрицы ( ) выполнено . Если матрица ( ) является невырожденной, то для матрицы ( ) выполнено .
.
Cлед
.
.
.
.
.
.
.
, где матрица ( ) имеет полный ранг по столбцам, т.е. .
, где и — квадратные матрицы.
Транспонирование
.
.
Определитель
Для матрицы ( ) .
.
.
для матрицы ( ).
.
.
Если матрица ( ) является треугольной (например, диагональной), то .
.
.
для матрицы ( ) и векторов-столбцов ( ).
, где и — квадратные матрицы.
, где и — квадратные невырожденные матрицы.
Матрица ( ) является невырожденной ( ) тогда и только тогда, когда .
Обращение
Если обратная матрица существует, то она единственна (в частности, левая и правая обратная матрица совпадают).
Матрица ( ) имеет обратную ( ) тогда и только тогда, когда она является невырожденной ( ).
Матрица ( ) имеет обратную ( ) тогда и только тогда, когда .
Обозначим через элементы обратной матрицы . Тогда
, где ( ) получены из матрицы путем вычеркивания -й строки и -го столбца.
Во всех приводимых ниже формулах предполагается, что существуют обратные матрицы там, где это требуется.
Для матрицы ( ) .
.
.
.
.
Если ( ) — ортогональная матрица, то .
Для диагональной матрицы выполнено .
.
.
.
, где и — квадратные матрицы.
, где и — квадратные матрицы.
Положительно определенные матрицы
Если матрица положительно определенная, то . Если матрица положительно полуопределенная, то .
Если матрица положительно (полу-)определенная, то матрица отрицательно (полу-)определенная.
Если матрица положительно определенная, то обратная матрица также положительно определенная.
Если матрицы и положительно (полу-)определенные, то матрицы и также положительно (полу-)определенные.
Если матрица положительно определенная, а положительно полуопределенная, то . Если положительно определенная, то .
Матрицы и ( ) являются симметричными положительно полуопределенными для любых матриц ( ) и ( ).
Если матрица ( ) имеет полный ранг по столбцам, то матрица ( ) симметричная положительно определенная. Если матрица ( ) положительно определенная, а матрица ( ) имеет полный ранг по столбцам, то матрица ( ) симметричная положительно определенная.
Если матрица ( ) положительно полуопределенная, то существует верхняя треугольная матрица ( ), такая что . Также существует нижняя треугольная матрица ( ), такая что . Такое представление матрицы называется разложением Холецкого (триангуляризацией).
Идемпотентные матрицы
Если матрица идемпотентная, то матрица тоже идемпотентная, причем .
Если матрица симметричная и идемпотентная, то .
Матрицы и являются симметричными и идемпотентными для любой матрицы ( ), имеющей полный ранг по столбцам. При этом и .
Собственные числа и векторы
Для матрицы ( ) является многочленом -й степени (характеристическим многочленом) и имеет корней, (среди которых могут быть кратные). По определению являются собственными числами матрицы .
У матрицы ( ) существует не больше различных собственных чисел.
Если — собственный вектор матрицы , соответствующий собственному числу , то для любого скаляра тоже собственный вектор, соответствующий собственному числу .
Если — собственные числа матрицы , то .
Если — собственные числа матрицы , то .
Если матрица идемпотентная, то все ее собственные числа равны 0 или 1.
Все собственные числа вещественной симметричной матрицы вещественны.
Если и — собственные векторы вещественной симметричной матрицы, соответствующие двум различным собственным числам, то они ортогональны: .
Если матрица ( ) является вещественной и симметричной, то существуют матрицы и , где ( ) — ортогональная матрица ( ), столбцы которой — собственные векторы матрицы , а ( ) — диагональная матрица, состоящая из соответствующих собственных чисел матрицы , такие что выполнено .
Если матрица ( ) является вещественной, симметричной, невырожднной, то .
Вещественная симметричная матрица является положительно полуопределенной (определенной), тогда и только тогда, когда все ее собственные числа неотрицательны (положительны). Вещественная симметричная матрица является отрицательно полуопределенной (определенной), тогда и только тогда, когда все ее собственные числа неположительны (отрицательны).
Если матрица ( ) является вещественной, симметричной и положительно полуопределенной, то , где ( ) — вещественная, симметричная и положительно полуопределенная матрица.
Пусть — собственные числа вещественной симметричной матрицы ( ). Тогда собственый вектор , соответствующий наибольшему собственому числу , является решением решением задачи
Пусть — собственные числа вещественной симметричной матрицы ( ). Тогда и .
Произведение Кронекера
и .
.
.
.
.
.
для матриц ( ) и ( ).
.