1.2. Законы распределения случайных величин.

Рассмотрим дискретную случайную величину Хс возможными значениямих₁, x₂, .., х_n. ВеличинаХможет принять каждое из этих значений с некоторой вероятностью. Вероятность того, что случайная величинаХпримет значениех_iобозначим черезP_i, то есть:

P_i=Pr{X=x_i}, i= 1,n.

Если в результате опыта величина Хпринимает только одно из этих значений, то имеем полную группу несовместных событий, и сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице:

.

Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если задано это распределение, то есть установлен так называемый закон распределения.

Закономраспределенияслучайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. При этом про случайную величину говорят, что она подчинена данному закону распределения.

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан одним из следующих способов:

1. аналитически в виде математического выражения, отражающего зависимость вероятности от значения случайной величины;

2. таблично в виде ряда распределения случайной величины, в котором перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности;

3. графически в виде многоугольника распределения, при котором по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат - вероятности этих значений.

Для непрерывной случайной величины, поскольку НСВ имеет бесчисленное множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток, каждое отдельное значение обычно не обладает никакой отличной от нуля вероятностью. Для описания НСВ Худобно воспользоваться не вероятностью событияX=x, а вероятностью событияXx, гдех- некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, является фикцией от переменнойхи называетсяфункцией распределенияслучайной величиныХ. Обозначим функцию распределения черезF(x).Тогда:

F

(1.2)

(x)=Pr{Xx}.

Функцию распределения F(x) называют иногда интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения и является одним из способов задания закона распределения.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. функция распределения - неотрицательная функция, то есть F(x)0;

2. функция распределения F(x) - неубывающая функция, то есть, еслиx₂x₁, тоF(x₂) F(x₁);

3. на минус бесконечности функция распределения равна нулю, а на плюс бесконечности - единице, то есть F(-)=0, а F(+)=1;

4. вероятность попадания случайной величины Xв отрезок [x₁, x₂] равна приращению функции распределения на этом отрезке, то естьPr{x₁xx₂}= =F(x₂)-F(x₁);

5. функция распределения F(x) сама является случайной величиной, распределенной равномерно на отрезке [0,1].

Если случайная величина определена в области положительных значений, что имеет место для большинства величин, используемых в теории моделирования дискретных систем, ее функция распределения равна нулю на всем промежутке от минус бесконечности до нуля: F(x)=0 приx0.

Следует отметить, что функция распределения является универсальной характеристикой случайной величины и существует как для непрерывных, так и для дискретных величин. Функция распределения для ДСВ X, принимающей значенияx₁, x₂, ..., x_n, ...при условии, чтоx₁x₂...х_n..., может быть определена в виде:

0 при x<x₁ ;

приx_nx< x_n+1 .

F(x)=Pr{Xx}=(1.3)

На рис. 1.1 и 1.2 приведены примерные графики функций распределения соответственно дискретной и непрерывной случайных величин, определенных в области положительных значений.

F

(x) F(x)

l_n+1 1

l_n

l_n-1

. …

. …

l₂

l₁

0 x₁ x₂ x₃...x_n-1 x_n x_n+1 x 0 x

Pис. 1.1. Функции распределения ДСВ.

Pис.1.2. Функции распределения НСВ.

Для вероятностного описания непрерывной случайной величины наряду с функцией распределения широко используется другая форма задания закона распределения в виде плотностираспределения, которая обозначается черезf(х) и определяется как производная от функции распределения, то естьf(x)=F ^/ (x). Иногда плотность распределенияf(х) называют плотностью вероятности или дифференциальной функцией (законом) распределения случайной величины.

Функция и плотность распределения случайной величины однозначно связаны между собой. В частности, функция распределения определяется через плотность распределения равенством:

F(x)=.

Для плотности распределения можно отметить следующие свойства:

1. плотность распределения есть неотрицательная функция: f(х) >0;

2. интеграл от плотности распределения в области определения случайной величины равен единице:

3. вероятность попадания случайной величины Xв отрезок [x₁,x₂] равна интегралу от плотности распределения на этом отрезке:

Pr{x₁xx₂}=.

Далее рассмотрим наиболее широко используемые в теории моделирования дискретных систем законы распределения случайных величин.

Для дискретных случайных величин таковыми являются:

1. закон распределения Пуассона;

2. геометрический закон распределения.

Распределение Пуассона. Случайная величинаXраспределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет целочисленное значениеk, выражается формулой:

P

(1.4)

_k=Pr{X=k}=e^-a,k=0, 1, 2, ...,

где а>0 и называется параметром распределения Пуассона. Выражение (1.4) представляет собой аналитический способ описания закона распределения.

На рис. 1.3 приведены многогранники распределения Пуассона, соответствующие различным значениям параметра а.

Г

(1.5)

еометрическое распределение. Распределение дискретной случайной величиныX=kвида

P_k=Pr{X=k}=(1-)^k, k=0, 1, 2,...,

где  - параметр распределения (0<<1), называется геометрическим.

Многоугольники геометрического распределения, соответствующие различным значениям параметра , приведены на рис. 1.4.

Распределение (1.5) может быть записано в несколько ином виде, если параметр заменить параметром =1-:

P_k= ^k(1-), k=0, 1, 2, ..., где 0<<1.

P_k P_k

0.5 a=0.5 0.5 =0,9

0.4 0.4

0.3 a=1 0.3

0.2 a=5 0.2 =0,5

0.1 0.1 =0,1

0 2 4 6 8 10 k 0 2 4 6 8 10 k

Рис. 1.3. Распределение Пуассона.

Рис. 1.4. Геометрическое распределение.

В случае непрерывных случайных величин наиболее широко используемыми законами распределения являются:

1. экспоненциальное распределение;

2. распределение Эрланга;

3. гиперэкспоненциальное распределение;

4. равномерное распределение.

Э

(1.7)

кспоненциальное распределение. Распределение непрерывной случайной величины с функцией распределения

F

(1.6)

(t)=1-e^-t, t0

называется экспоненциальным распределением. Здесь >0 и называется параметром экспоненциального распределения.

Плотность экспоненциального распределения

f(t)=F^/(t)= e^-t, t0.

Графики плотности распределения, соответствующие различным значениям параметра , приведены на рис. 1.5.

Экспоненциальное распределение обладает замечательным свойством, названным свойствомотсутствияпоследействия. Это свойство значительно упрощает аналитическое моделирование систем со случайным характером функционирования. Как говорит уже само название, прошлая история экспоненциально распределенной случайной величины не играет роли в предсказании ее будущего. Более точно имеется в виду следующее. Допустим, что длительность телефонного разговора является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону (1.6). Пустьt=0 - момент начала разговора (рис.1.6), аt=t₁- случайная точка на временной оси, соответствующая моменту окончания разговора. Предположим теперь, что прошло некоторое времяt₀, в течение которого продолжался телефонный разговор. Тогда’=t₁-t₀- случайное время, которое осталось до окончания разговора. Возникает вопрос: по какому закону распределена случайная величина’? Для ответа на этот вопрос проведем следующие вычисления:

F_’ (t)=Pr{’t}=Pr{t+t₀|>t₀}==.

Здесь мы последовательно воспользовались соотношением между и’ , выражением (1.1) для условной вероятности и четвертым свойством функции распределения. Согласно равенству (1.6) имеем:

.

Этот результат показывает, что оставшееся время разговора при условии, что уже разговаривали в течение времениt_0,распределено по такому же закону, что и безусловная длительность разговора. Это дает основание считать, что время до окончания разговора не зависит от того, сколько времени прошло с момента его начала. Другими словами, будущее экспоненциально распределенной случайной величины не зависит от прошлой истории этой величины, и соответствующее распределение остается неизменным во времени. Экспоненциальное распределение является единственным непрерывным распределением, обладающим этим свойством. В случае дискретных случайных величин, единственным распределением с таким же свойством является геометрическое распределение.

f(t)

=2

2



=1

0 t₀ ’ t₁ t

1

=0.8

0 1 2 3 4 5 6 t

Рис 1.5. Плотность экспоненциального распределения.

Рис 1.6. Пояснение свойства отсутствия последействия.

Распределение Эрланга. Распределением Эрлангаk-го порядка называется распределение, описывающее непрерывную случайную величину, представляющую собой суммуkнезависимых случайных величин, распределенных одинаково по экспоненциальному закону с параметром. Функция распределения и плотность распределения Эрланга порядкаkимеют вид:

F

(1.8)

_k(t)=1-e^-t, t0;

f

(1.9)

_k(t)=e^-t, t0,

где иk- положительные параметры распределения, причем параметрkпринимает только целочисленные значения:k=1, 2, 3, ... . Таким образом, распределение Эрланга является двухпараметрическим. Экспоненциальное распределение можно рассматривать как частный случай распределения Эрланга приk=1. Приk распределение Эрланга приближается к нормальному распределению. На рис. 1.7 приведены графики плотности распределения Эрланга при различных значениях параметраk, а на рис. 1.8 - его схематическое представление.

Гиперэкспоненциальное распределение. Гиперэкспоненциальным распределением порядкаkназывается распределение, описывающее случайную величину, которая с вероятностьюP₁распределена по экспоненциальному закону с параметром₁, с вероятностьюP₂- с параметром₂,…, с вероятностьюP_k- с параметром_k. При этом параметрkпринимает только целочисленные значения, а вероятностиP₁, P₂, ...,P_kудовлетворяют условию:.

f_k(t)

1

+ + ...+

0.8 k=1 (=1)

k=3

k=2

0.6

0.4

0.2

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 t

Рис 1.7. Графики плотности распределения Эрланга порядка k.

Рис 1.8. Схематическое представление распределения Эрланга порядка k.

Функция и плотность распределения гиперэкспоненциального распределения порядка kимеют вид:

F

(1.10)

_k(t)=1-,t0;

f

(1.11)

_k(t)=, t0.

Нетрудно заметить, что приведенные функция и плотность распределения представляют собой взвешенные суммы соответствующих функций и плотностей экспоненциальных распределений, составляющих гиперэкспоненту. На рис. 1.9 приведены графики плотности распределения гиперэкспоненциального распределения при различных значениях k, а на рис. 1.10 - схематическое представление такого распределения.

Гиперэкспоненциальное распределение является частным случаем гиперэрланговскогораспределения, где составляющими его распределениями выступают распределения Эрланга того или иного порядка.

f

exp 1

exp n

_k(t)

...

k=1(₁=1)

1

₁=0.8, ₂=0.4

P₁=0.5, P₂=0.5

0.8

...

0.6

0.4

0.2

0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 t

Рис 1.9. График плотности распределения гиперэкспоненты.

Рис 1.10. Схематическое представление гиперэкспоненты.

Равномерное распределение. Говорят, что непрерывная случайная величина распределена равномерно на отрезке [a,b], если ее функция распределения имеет вид:

0 при x<a;

F

(1.12)

(x)= , если axb;

1 при x>b.

П

приаxb;

0 при x<aиx>b.

ри этом плотность распределения определяется выражением:

(1.13)

f(x)=

На рис. 1.11 и 1.12 приведены графики рассматриваемых функций.

При моделировании дискретных систем наибольшее применение находит частный случай равномерного распределения, когдаа=0 иb=1.

F(x) f(x)

1

1/(b-a)

a b x a b x

Рис 1.11. График функции распределения.

Рис 1.12. График плотности распределения.