1. Вычисление площадей плоских фигур.
А) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) [f(x) ≥ 0], прямыми x=a и x=b и отрезками [a; b] оси Ох, вычисляется по формуле:
Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x)[f1(x) ≤ f2(x)] и прямыми x=a и x=b, находится по формуле:
Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком [a; b] оси Ох, выражается формулой:
где t1 и t2 определяются из уравнений a=x(t1), b=x(t2) [y(t) ≥ 0 при t1 ≤ t ≤ t2].
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ=ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ=α, θ=β (α < β), выражается интегралом:
Б)Дан линейный неоднородный стержень, лежащий на оси в пределах отрезка . Требуется определить массу этого стержня. Пусть плотность распределения массы вдоль стержня есть некоторая непрерывная функция от : .
Для определения массы стержня разобьем его на произвольных частей точками . В пределах каждой части выберем по произвольной точке .
Так как в пределах функция изменяется мало, то массу части стержня, соответствующей отрезку , можно считать приближенно равной , где .
Масса же всего стержня приближенно равна
{
}
Точное значение массы, очевидно, получим в пределе, когда наибольший частичный отрезок стремится к нулю, т. е.
2. Определение интеграла по фигуре.
Пусть дана фигура G , р текущая точка на фигуре.
f(p) заданная на фигуре G
Выполним след. операции:
1.Разобьем G на куски: G1, G2,…, Gn, меры кусков.
2 .Внутри каждого куска выберем по 1 точке р1, р2, р3…
3.Вычисляем значение функции в выбранных точках
4.Составляем сумму произведений
f(p1)* G1+ f(p2)* G2+… +f(pn)* Gn=(n/i=1)f(pi)*Gi
эта сумма называется интегральной суммой функции f(p) по фигуре G при разбиениии n
Опр. Интегралом по фигуре G функции f(p) называется предел интегральных сумм этой функции, когда n0
Gf(p)dG=Lim(n)*(n/i=1)f(Pi)*Gi
Если этот предел существует и независит от способов разбиения при условии, что диаметры кусков при этом стремятся к нулю.
Диаметром куска называется его максимальный линейный размер.
Max dim G 0
Cвойства интеграла по фигуре.
1.Итеграл по фигуре от единичной функции равен мере фигуры.
GdG=G мера фигуры
Док-во: по определению
GdG=Lim(n)*(n/i=1)1*G=G как сумма мер всех кусков.
3. Свойства определенного интеграла.
3)
Если f(x) (x) на отрезке [a, b] a < b, то
Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:
Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка такая, что