1-2 вопрос
Функцией двух переменных называется правило или закон, по которому каждой паре чисел (х; у)D соответствует единственное zE.
х и у – независимые переменные D; z – зависимая переменная E. Между переменными х и у и в зависимости от их изменения переменной z существует функциональная зависимость, т.е. изменение двух переменных х и у влечёт за собой изменение переменной z. Тогда х,у – аргументы, а z – функция: z=f(x;y), D – область определения z=f(x;y), Е – область значений z=f(x;y)
А налогично, если x, y, z – независимые переменные, а их изменение влечёт за собой изменение зависимой переменной u, то закон (правило), по которому происходит эта функциональная зависимость, называется функцией трёх переменных.U=f(x;y;z) (2)
И, в общем, если x, y, z, …, t – n независимых переменных, а U – (n+1) зависимая переменная, то U = f(x; y; z; …;t) – функция нескольких переменных, n переменных.(3)
Так как (х, у) – координаты точки МD, то z = f(x, y) = f(M). Аналогично, если (x, y, z, …,t) – координаты т.М в n – мерном пространстве, то U=f(M) – функция зависящая от n – переменных.
Способы задания функции нескольких переменных: аналитический, графический, табличный.
1. Аналитический. Функция задаётся явно, в виде формулы z=f(x; y), либо неявно F(x; y; z) = 0. Например: Z = ln(x2 + y2 – 1) или z2+ax3+lg y = 1
Областью определения функции двух переменных называется множество точек (х, у), удовлетворяющих заданию функции, как правило, это область на плоскости ХОУ.
Например: Z = ln(1- x2 - y2 ),
D(z): 1 – x2 – y2 > 0, x2 + y2 < 1, т.е. областью определения является круг с центром в начале координат и радиуса 1, причём точки, лежащие на окружности не входят в область.
|
|
|
|
2. Геометрический. Графиком функции двух переменных z=f(x; y) в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве является в общем случае поверхность. Например. Верхняя часть эллипсоида является графиком функции , ,а нижняя его часть графиком функции
Множество граничных точек образуют границу области. Если граница принадлежит области, то область называется замкнутой., если не принадлежит, то открытой. Если область можно заключить в круг некоторого радиуса, то область называется ограниченной, если нельзя, то неограниченной
3 Вопрос
Как известно, функция одной переменной геометрически изображается на плоскости в виде линии, определенной уравнением y f x = ( ). Подобным же образом функция двух переменных геометрически изображается в пространствеR^3 в виде поверхности, определенной уравнением z f x y = ( , ), т.е. сама формула, задающая функцию, и есть уравнение этой поверхности.
Пусть функция z = f (х, у) определена в некоторой области D на плоскости хоу.
Множество точек P (х, у, f (х, у)), определяемое уравнением (1), является геометрическим образом функции двух переменных – это поверхность, которая проектируется в область D (см. рис. 1). Точка М является проекцией точки Р.
4 Вопрос
Дадим независимой переменой x приращение Дельта x; тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначают через:
Dxz=f(x+Dx,y) –f(x,y).
Аналогичным образом при пересечении поверхности плоскостью x=const получаем частное приращение z по y:
Dyz=f(x,y+Dy) –f(x,y).
Сообщив приращение аргументу, а аргументу yÞD y получаем новое Дельта z, которое называется полным приращением функции z:
Dz=f(x+Dx, y+Dy)-f(x,y)
5 Вопрос
Определение 2. Окрестностью точки M0 (x0,y0) радиуса r называется совокупность точек М(х, у), лежащих внутри круга радиуса r , с центром в точке M0:
6 Вопрос
Число А называется пределом функции f (х, у) при стремлении M(x,y) к M0(x0,y0), , если для всякого, как угодно малого существует (или найдётся) число такое, что для всех точек (х, у), для которых выполняется неравенство , выполняется неравенство .
Обозначение: или .
7 Вопрос
Функция f (х, у) называется непрерывной в точке M0(x0,y0), если она определена в точке и некоторой её окрестности или Введём обозначения: , , , .Функция f(x,y) непрерывна в точке (x0,y0), если или Иначе говоря, функция z = f (х, у) непрерывна в точке M0(x0,y0), если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции.
8 Вопрос
Свойства непрерывных функций:
1.Алгебраическая сумма и произведение конечного числа непрерывных в данной точке функций есть непрерывная функция в этой точке. Частное двух непрерывных функций в точке, при условии, что знаменатель отличен от нуля в этой точке, также есть непрерывная функция в этой точке.
2,Непрерывность сложной функции
Пусть и непрерывны в некоторой точке и пусть непрерывна в точке пространства , соответствующей точке P0, тогда такая функция v будет непрерывна в точке P0.
3, Если z=f(x,y)=f(M) непрерывна в замкнутой области , то функция z :
1) ограничена в области ;
2) принимает в свои наименьшее и наибольшее значения;
3) если в двух точках А и В области D функция принимает неравные значения, то она принимает и всякое промежуточное между ними значение по крайней мере в одной точке любой кривой, соединяющей точки А и В и целиком лежащей в области D . В частности, если f(A) и f(B) – числа противоположных знаков, то функция f(M) обращается в нуль по крайней мере в одной точке любой упомянутой кривой;
4. свойство равномерной непрерывности: при всяком найдётся такое число , что для любых двух точек А и В области D, расстояние между которыми меньше , будет справедливо неравенство