3. Определители 2-го и 3-го порядков, их свойства

Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно).

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A). – детерминант

Для матрицы детерминант определяется как

В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:

Также можно использовать метод треугольника и метод дописывания первых двух столбцов, а затем умножать по диагонали сначала в одну сторону, а затем в другую (подробнее в лекции).

Для определителя порядка больше 3-х действует одно правило:

- разложить определитель по элементам строки или столбца.

Не существует неквадратного определителя.

Свойства определителей:

1. Определитель прямой и транспонированной матрицы совпадают |A^T|=|A|

2. Элементарные преобразования 1-го типа не изменяют величину определителя. (Прибавление к элементам строки определителя элементы др. строки, умножение на какое-либо число)

3. Элементарные преобразования 2-го типа (умножение любой строки на какое-либо число не равное 0) приводит к умножению всего определителя на это число.

4. Элементарные преобразования 3-го типа(перестановка 2-х строк местами) меняет знак определителя на противоположный.

5. Линейность по строкам.

a₁₁ a₁₂ a₁₃ ….a_1n a₁₁ a₁₂ a₁₃ ….a_1n

………… ………

a’_i1+a’’_i1 a’_i2+a’’_i2 a’_i3+a’’_{i3 =} a’_i1 a’_i2 a’_{i3 +}

……. …….

a_n1 a_n2 a_n3 ….. a_nn a_n1 a_n2 a_n3 ….. a_nn

a₁₁ a₁₂ a₁₃ ….a_1n

………

+ a^’’_i1 a^’’_i2 a^’’_i3

…….

a_n1 a_n2 a_n3 ….. a_nn

4. Определители n-го порядка и их свойства

Свойства определителя n-го порядка

Свойство 1. При замене строк столбцами (транспонировании) значение определителя не изменится, т.е.

Свойство 2. Если хотя бы один ряд (строка или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю. Доказательство очевидно.

В самом деле, тогда в каждом члене определителя один из множителей будет нуль.

Свойство 3. Если в определителе поменять местами два соседних параллельных ряда (строки или столбцы), то определитель поменяет знак на противоположный, т.е.

Свойство 4. Если в определителе имеются два одинаковых параллельных ряда, то определитель равен нулю:

Свойство 5. Если в определителе два параллельных ряда пропорциональны, то определитель равен нулю:

Свойство 6. Если все элементы определителя, стоящие в одном ряду, умножить на одно и то же число, то значение определителя изменится в это число раз:

Следствие. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда, можно вынести за знак определителя, например:

Свойство 7. Если в определителе все элементы одного ряда представлены в виде суммы двух слагаемых, то он равен сумме двух определителей:

Свойство 8. Если к элементам какого-либо ряда прибавить произведение соответствующих элементов параллельного ряда на постоянный множитель, то значение определителя не изменится:

Свойство 9. Если к элементам i-го ряда прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов нескольких параллельных рядов, то значение определителя не изменится:

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 8.