Вопрос 1

Первообразная функция и неопределенный интеграл

Зная закон движения тела, можно, продифференцировав функцию перемещения тела по времени, в любой момент найти его скорость. Часто требуется решить обратную задачу, то есть найти перемещение тела, зная, как изменяется его скорость. Эта и подобные задачи решаются при помощи интегрирования – операции, обратной дифференцированию.

Функция F, заданная на некотором промежутке D, называется первообразной функции f, заданной на том же промежутке, если для любого х€D F’(x)=f(x)

Так, функция F= является первообразной функции F(x)=f(x) в чем можно убедиться, поставив эти функции в определение первообразной. Функция F= также является первообразной функции F(x)=

Если функция F является первообразной функции f, то все функции вида F + C, где C – константа, и только они являются первообразными функции f.

Таким образом, для любой функции ее первообразная F определяется неоднозначно. Для того, чтобы задать ее однозначно, нужно указать точку A (x0; y0), удовлетворяющую уравнению y = F(x)

Пусть дана ф-я f(x) которая определна на некотором интервале (а:в) или отрезке [a;b].Ствится вопрос а существует ли такая ф-я f(x) а если существует как ее найти,чтобы выполнилось условие F’(x)=f(x)для x€(a;b).Пример: F(x)=2x f(x)=

F”(x)= =2x=F(x) для любого х€R

Действие нахождения первообразной ф-и наз ее интегрированием.эта операция обратная

Т1.Если F(x) есть первообр ф-я F(x) на интервале (а;в) то и ф-ии Ф(х)=F(x)+c,c=const, также явл первообразной для ф-ииF(x)

Т2.если ф-я F(x)на интервале (а;в) то всякая другая первообр для ф-ии F(x) опред формулой:Ф(х)=F(x)+c c=const т.е. любые 2 первообр для ф-ии F(x) отл м-у собой на постоянную

Т3 для любой непрерыв ф-ии на отрезке [a;d] существ не неопред интеграл но он может не выражаться элементарной ф-ей

допечатать

Вопрос2

Основные свойства неопределенного интеграла

1)Если ф-я f(x) имеет первообразную на промежутке X, и k – число, то

2) Если функции f ( x ) и g ( x ) имеют первообразные на промежутке X , то

3) Если функция f ( x ) имеет первообразную на промежутке X , то для внутренних точек этого промежутка:

4) Если функция f ( x ) непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:

Вопрос 3таблица соновных формул и правил интегрирования

2) 3) dx= =c 4) =ln/x/+c 5)sinxdx=-cos+c 6)cosxdx=sinx+c

6) =tgx+c 7) =-ctgx+c 8) 9)

10) 11)

Известны так называемые неберущиеся интегралы

1) dx интеграл пуасона 2) dx интегральный sin

3) ) итнегральный cos 4) интегральный ln

6)

5)

Вопрос 4Основные етоды интегрирования:непосредственное,замена переменной и по частям

Непосредственное интегрировани е интегр путем подвод подинтегральной ф-ии в табл форме

dx= dx= dx= - =tgx-x+c

Метод подстановки(замены переменной)

Т.Если ф-я х=µ(t) монотнна и непрерывна диференц в промежуткеα<µ(t)<b то имеет место ф-ла для всякой ф-ии f(x)интегрир по интервал (а;в)

Метод интегрирования по частям

Пусть имеется 2 ф-и u=u(x) v=v(x)которые непрерывно дифф на интервале (а;в) тогда справедлива ф-ла

В8Задачи приводящие к понятию определенного интеграла

Пусть на [a,d]задана ф-я у=f(x) f(x)≥0

Криволинейн трап будем называть фигуру огран след линиями:

1)прямыми х=а,х=в

2)y=f(x) и осью ох аАВв-криволинейная трапеция A(a;f(a)) B(b;f(b))

Требуется определить S трапец для этого разобьем отрезок [ab] на n частей

a= <

n-1 точки разбиения [

тогда а криволинейная трапеция разбивается на n малых криволин трап

2)на каждом из участков разбиения выбираем произв тчку на [ ] и вычисляем значение в этой точке f

Тогда S= площадь риволинейных трапеций ,плоученных в ходе разбиения

4

S= где диаметр разбиения отрезка АВ