- •Нахождение изображений
- •Теоремы подобия, смещения, запаздывания
- •Поиск изображения по графику оригинала
- •Отыскание оригинала по изображению
- •Дифференцирование оригиналов и изображений
- •Интегрирование оригиналов и изображений
- •Свертка функций
- •Решение дифференциальных уравнений
- •Решение систем дифференциальных уравнений
- •Решение интегральных уравнений
Казанский государственный энергетический университет
Кафедра «Высшей Математики»
Элементы теории операционного исчисления
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Пусть функция f(t) обладает следующими свойствами: 10 f(t) 0 при t < 0 ; 20 | f(t)| < M при t > 0, где М > 0 , т.е. f(t) возрастает не быстрее некоторой экспоненты и s0 – показатель роста функции ; 30 На любом промежутке [a,b] положительной полуоси выполняются условия Дирихле – функция кусочно-непрерывна и имеет конечное число экстремумов и точек разрыва I рода.
Такие функции наз. изображаемыми по Лапласу или оригиналами. Запишем интеграл
= F(p) ( 1 )
где p = s + iq - комплексная переменная. При s и F(p) 0 . При указанных условиях он сходится и наз. интегралом Лапласа, а функция F(p) наз. изображением оригинала. Переход от f(t) к F(p) наз. преобразованием Лапласа и обозначается f(t) =: F(p) или F(p) =: f(t). Для значения f(t) в точке разрыва t0 выбирают f(t0) = ½ [f(t0 - 0) + f(t0 + 0)] . При этих условиях между f(t) и F(p) существует взаимно – однозначное соответствие.
Смысл преобразования – многим операциям над оригиналами соответствуют более простые операции над изображениями. Например, решение дифференциальных и интегральных уравнений может существенно упроститься.
Нахождение изображений
В ычислим изображение единичной функции и экспоненты
Пр.1 (t) = , (t) =: = = ,
Re p > 0
Пр.2 = , =: = = ,
Re p > a = s0
Свойство линейности. Т.к. интеграл от суммы функций равен сумме интегра-лов, то линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбина-ция изображений.
С1 f1(t) + С2 f2(t) =: С1 F1(p) + С2 F2(p)
Из формулы Эйлера eit = cos t + i sin t имеем соs t = ½(eit + e-it) , sin t = ½i(eit - e-it) и для оригиналов этих функций вычислим изображения
Пр.3 f(t) = cos t = ½(eit + e-it) =: ½ [ ] =
Пр.4 f(t) = sin t = ½i(eit - e-it) =: 1/2i [ ] =
Пр.5 f(t) = t =: = = + = = . f(t) = t2 =: = = + + = = . Аналогично имеем t3 =: ,
t4 =: , . . . и получаем tn =: .
Теоремы подобия, смещения, запаздывания
Теорема подобия. Дополнительное умножение аргумента t в оригинале на число а R, a > 0 приводит в изображении к уменьшению в а раз параметра p и самого изображения,
f(аt) =: F( ) . ( 2 )
Доказательство.
f(аt) =: = = =
= = = F( )
Пр.6 sin at =: = ; cos at =: =
Теорема смещения. Переход в изображении от p к (p + z), где z комплексное число, причем Re (p + z) > s0 , приводит к дополнительному умножению оригинала на экспоненту e-zt
F(p + z) =: e-zt f(t) ( 3 )
Доказательство.
e-zt f(t) =: = = F(p + z)
Пр.7 ezt sin at =: ; ezt cos at =:
Теорема запаздывания. Уменьшение параметра t в оригинале на величину > 0 приводит к дополнительному умножению изображения на экспоненту
f(t - ) (t- ) =: F(p) ( 4 )
Доказательство.
f(t - ) (t- ) =: = +
+
Первый интеграл равен 0, т.к. (t- ) = 0 при t < , во втором интеграле (t- ) = 1 при
f(t - ) (t- ) =: = =
= = F(p)
Пр.8 (t - ) =: и (t – a) (t - а) =: с учетом Пр. 5 .
Поиск изображения по графику оригинала
Пр.9 По данному графику оригинала найти изображение.
Построим аналитическое выражение для данной функции,
на основе общего уравнения прямой, проходящей через
две точки (t1, y1) , (t2, y2) = ( 5 )
и свойств единичной функции (t - а) =
(t) (t) - (t - а)
Решение. Функцию на интервале [0 , a] описывает разность двух единичных функций (t) - (t - а) . Первую наклонную определим из ( 5 ) по точкам (2а, 0), (а, 1): y =- (t – 2a). Для перехода от бесконечной прямой к отрезку на интервале [a, 3a] умножим уравнение на разность (t -а) - (t -3а) Вторую наклонную определим из ( 5 ) по точкам (4а,0) , (3а,-1): y = (t – 4a), и умножим уравнение на (t - 3а). Сумма этих трех выражений определит аналитический вид функции
f(t) = (t) - (t - а) - (t – 2a) [ (t - а) - (t - 3а)] + (t – 4a) [ (t - 3а)]
Представим f(t) в виде суммы слагаемых двух типов (t - b) и (t – b) (t - b)
f(t) = (t) - (t - а) - (t – a) (t - а) + (t - а) + (t – 3a) (t - 3а) + (t - 3а)+
+ (t – 3a) (t - 3а) - (t - 3а) = (t) - (t – a) (t - а) + (t – 3a) (t - 3а)
С помощью соотношений Пр.8 совершим переход к искомому изображению
F(t) =: - + .
Таблица изображений
-
№
f(t) при t>0
F(p)
№
f(t) при t>0
F(p)
1
1
9
t cos at
2
10
t sin at
3
eat
11
4
cos at
12
5
sin at
13
6
ezt cos at
14
7
ezt sin at
15
8
eat
16