1. Пересечение множеств

= {1;3}

2. Объединение множеств

= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

3. Разность множеств А и В состоит из тех элементов, которые принадлежат первому и не принадлежат второму.

= {2; 4; 6}

= {5; 7}

4. Симметрическая разность состоит из тех элементов, которые принадлежат ровно одному из множеств и не принадлежат обоим множествам одновременно.

= {2; 4; 6} {5; 7}={2; 4; 5; 6; 7}

12.

Отображения, виды отображений.

Композиция отображений

Пусть даны 2 множества:

Тогда пары задают соответствие между множествами А и В если указано правило R, по которому для элемента из множества выбирается элемент .

Пусть задано соответствие R между множествами А и В. Для некоторого элемента a A поставлен в соответствие элемент b В, который называется образом элемента а и записывается b=R(a).

Тогда элемент a= называется прообразом элемента b.

A – множество парабол;

B – множество точек плоскости;

R – соответствие «вершина параболы»;

R(a) – точка, являющаяся вершиной параболы a;

- состоит из всех парабол с вершиной в точке b.

Образ множества A при соответствии R называется множеством значений данного соответствия и обозначается R(A), или R(A) состоит из образов всех элементов множества A. Прообраз множества B при некотором соответствии R называется областью определения этого соответствия и обозначается .

Задание отображений

Композиция отображений.

Пусть даны отображения

и ,

тогда отображение

называется композицией отображений и

и записывается:

Пример:

f1=Cos(x);

f2=ln(x);

f3=f2 f1=ln(Cos(x))

f4=f1 f2=Cos(ln(x))

17.

Индуктивные умозаключения и их виды

Дедукция – от общего к частному.

Индукция – вид умозаключений, при котором на основании анализа частных суждений о принадлежности признака отдельным элементам множества делается вывод о принадлежности этого признака всему множеству.

Оказывается, для проверки индуктивных умозаключений необходимо большое число частных случаев, примеров, опытов, подтверждающих данный вывод. Но для опровержения индуктивного умозаключения достаточно одного контрпримера, противоречащей инстанции.

Виды индукции

Полная

Неполная

Математическая

Перечисление элементов

Популярная

Научная

Выборка

Виды индукции

Вид	Вывод	Заключение	Примеры
Полная	Достоверный	Перечисление всех элементов	Метод Сократа. «Майевтика» - рождение истины из логической цепочки частных вопросов и ответов, единичных примеров обыденной жизни. Индукция через простое перечисление всех элементов конечного счетного множества (перекличка, проверка каталога, перепись жильцов дома и т.д.). есть P; { , ,…, } исчерпывает весь класс P; есть P. Значит, все элементы S есть P.
		Математическая	Формулы общего члена и суммы арифметической ( ) и геометрической ( ) прогрессии. Бином Ньютона . Формулы, определенные на множестве N.
Неполная		Научная	Законы природы в естественных науках физике, химии, биологии. Законы развития общества в общественных науках. Законы логики и философии.
	Вероятный	Популярная	Народные суеверия и приметы. Неполная математическая индукция { , , ,…, ,…}, имеет признак B, имеет признак B, имеет признак B. По-видимому, все А имеют признак В.
		Выборка	Математическая статистика (средняя урожайность, проверка на качество в промышленности, медицина). Социологические исследования.

18.

Метод математической индукции

ММИ заключается в следующем:

1. Утверждение проверяется для некоторого начального элемента (например, n=1).

2. Формулируется гипотеза о том, что утверждение справедливо для некоторого натурального k.

3. Доказывается, что если из того, что утверждение справедливо для произвольного k следует, что утверждение справедливо для k+1, то оно справедливо для любого натурального n.

ММИ чаще всего применяется к натуральным числам и с четным множеством для доказательства формул, неравенств, делимости натуральных чисел.

Если равенство не удалось доказать с помощью ММИ, то это не означает, что оно не верное, нужно пробовать другой метод или найти контрпример.

19.

Неориентированные графы. Понятие и основные определения. Теорема о сумме степеней вершин графа. Формула количества ребер в полном графе

Графы.

Графом G=(V,X) называется пара двух конечных множеств: множество точек и множество линий, соединяющих некоторые пары точек. Точки называются вершинами, или узлами, графа, линии – ребрами графа.

Если ребро графа G соединяет две его вершины V и W (т.е. < V, W> X), то говорят, что

это ребро им инцидентно. Две вершины графа называются смежными, если существует

инцидентное им ребро: рисунок 2.1,а смежными являются вершины А и В, А и С. Если

граф G имеет ребро Х (V,V), у которого начало и конец совпадают , то это ребро

называется петлей. На рис. 2.1,г петля Q (С,С). Два ребра называются смежными, если

они имеют общую вершину.

Граф G(V,X) может иметь ребра с одинаковыми парами вида Х (V,W). Такие ребра называются кратными или параллельными. Количество одинаковых пар вида Х (V,W) называется кратностью ребра (V,W). Число ребер, инцидентных вершине А, называется степенью этой вершины и обозначается deg(A).

Вершина графа, имеющая степень, равную 0, называется изолированной. Граф, состоящий из изолированных вершин, называется 0-графом. Вершина графа, имеющая степень, равную 1, называется висячей.

Теорема 2.1.

В графе G(V,X) сумма степеней всех его вершин – число четное, равное удвоенному числу ребер графа: __________ , где n=|V | - это число вершин; m=|X| - число ребер графа.

Вершина называется четной (нечетной), если ее степень – четное (нечетное) число.

Теорема 2.2.

Число нечетных вершин любого графа – четно. Следствие: невозможно начертить граф с нечетным числом нечетных вершин.

Граф G называется полным, если любые две его различные вершины соединены одним и только одним ребром. Дополнением графа G(V,X) называется граф _____________ с теми же вершинами V, что и граф G, и имеющий те и только те ребра Х’, которые необходимо добавить графу G, чтобы он стал полным.

20.

Ориентированные графы. Понятия и основные определения. Понятие расстояния между вершинами в графе. Понятие двудольного графа. Понятие полного двудольного графа.

Если все пары (______) во множестве Х являются упорядоченными, т.е. кортежами длины 2, то граф называется ориентированным, орграфом, или направленным.

Началом ребра называется вершина, указанная в кортеже к первой, концом – вторая вершина этой пары (графически она указана стрелкой).

Ребра орграфа имеют определенные фиксированные начало и конец и называются дугами.

Степенью входа (выхода) вершины орграфа называется число ребер, для которых эта вершина является концом (началом).

Дуги орграфа называются кратными, если они имеют одинаковые начальные и конечные вершины, т.е. одинаковые направления.

Последовательность попарно инцидентных вершин ____________ неориентированного графа, т.е. последовательность ребер неориентированного графа, в которой вторая вершина предыдущего ребра совпадает с первой вершиной следующего, называется маршрутом. Число ребер маршрута называется длиной маршрута. Если начальная вершина маршрута совпадает с конечной, то такой маршрут называется замкнутым или циклом.

Расстояние между двумя вершинами называется минимальная длина из всех возможных маршрутов между этими вершинами, при условии, что существует хотя бы один такой маршрут._____________

Если ребро встретилось только один раз, то маршрут называется цепью.

В орграфе маршрут является ориентированным и называется путем. На путь сразу налагаются важные требования, являющиеся частью определения:

• направление каждой дуги должно совпадать с направлением пути;

• ни одно ребро пути не должно встречаться дважды.

Путь – это упорядоченная последовательность ребер орграфа, в которой конец предыдущего ребра совпадает с началом следующего и все ребра единственны.

Цикл в орграфе – путь, у которого совпадают начало и конец.

Цепь, путь и цикл в графе называются простыми, если они проходят через любую из вершин не более одного раза. Неориентированный граф называется связным, если между любыми двумя его вершинами есть маршрут. Для связанного графа ориентация дуг необязательна.

Ребро (V,W) связного графа G называется мостом, если после его удаления G станет несвязым и распадется на два связных графа G’ и G”.

Теорема Эйлера.

Связный плоский граф с n-вершинами и m-ребрами разбивает плоскость на r-областей (включая внешнюю), причем n-m+r=2.

Граф называется двудольным, если его вершины разбиты на два непересекающихся подмножества _________, а ребра связывают вершины только из разных классов (необязательно все пары). Если каждая вершина множества cвязана ребром с каждой вершиной множества , то двудольный граф называется полным двудольным и обозначается , где m=| | и n= | |.