Вопрос 53

Процессы, протекающие в электрических цепях, в общем случае характеризуются токами и напряжениями на элементах (участках) цепи. Если параметры токов и напряжений остаются постоянными во времени, то такой режим цепи называется стационарным или установившемся. В таком режиме энергетическое состояние цепи, которое связано с токами и напряжениями на элементах, остается постоянным во времени.

Любое изменение в электрической цепи, приводящее к изменению энергетического состояния цепи называется коммутацией. Коммутация это различные включения и выключения пассивных или активных элементов, что приводит к изменению топологии цепи или изменению параметров элементов, а также изменения параметров воздействующих на цепь сигналов. Обычно считают, что коммутация совершается мгновенно. В результате коммутации возникает процесс перехода электрической цепи от одного энергетически стационарного состояния к другому. Этот процесс называется переходным или нестационарным процессом. Переходной процесс протекает не мгновенно (скачком), а, постепенно, в течение определенного времени в силу того, что энергия энергоемких элементов скачком изменяться не может и, следовательно, не может изменяться скачком обусловливающая ее величина. Если предположить, что энергия W изменится мгновенно за время t = 0, то мощность P=W/t, необходимая для этого, оказалась бы равной бесконечности, а источников с бесконечной мощностью в природе не существует. Время, за которое протекает переходной процесс, называется временем переходного процесса.

К энергоемким элементам относят емкость и индуктивность. Вследствие того, что запасенная ими энергия (W_L=LI_L²/2, W_C=CU_C²/2) является непрерывной функцией времени, то ток через индуктивность i_L и напряжение на емкости u_C также являются непрерывными функциями времени, что и приводит к переходному процессу в электрической цепи. Причины, приводящие к переходным процессам, формулируются в виде законов коммутации, без знания которых невозможно рассчитывать и анализировать переходные процессы.

Первый закон коммутации. В начальный момент времени после коммутации ток через индуктивность сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией: i_L(+0) = i_L(–0).

Второй закон коммутации. В начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией: u_C(+0) = u_C(–0).

Вопрос 54

Задача анализа цепи заключается в отыскании отклика при известном входном сигнале (воздействии) и схеме электрической цепи.

При импульсном воздействии x(t) – произвольная функция времени.

При произвольном входном сигнале основными методами анализа цепей являются:

1) классический метод;

2) спектральный метод;

3) операторный метод;

4) временной (метод интеграла Дюамеля).

Классический метод анализа

Данный метод сводится к составлению и решению дифференциального уравнения, устанавливающего связь между откликом и воздействием. Порядок применения метода следующий.

1) составление дифференциального уравнения и приведение его к стандартному виду.

Уравнение составляется на основе законов Ома и Кирхгофа, а также с использованием метода контурных токов, узловых потенциалов и других. При составлении уравнения используют следующие соотношения:

; ; .

При составлении уравнения за неизвестные принимают переменные состояния цепи, т.е. величины, которые отражают энергетическое состояние цепи. К ним относят u_C и i_L. Составленные уравнения цепи после преобразований, приведения подобных членов и дифференцирования сводят к неоднородному линейному уравнению.

Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ):

,

где y(t) – отклик; х(t) – воздействие; a_i – постоянные, зависящие от R, L, C;

n – порядок дифференциального уравнения (ДУ). Порядок ДУ зависит от числа реактивных элементов и схемы их соединения. В простейшем случае число реактивных элементов равно n.

2) Запись общего решения ЛНДУ.

Оно состоит из суммы двух составляющих:

y(t) = y₁(t) + y₂(t).

y₁(t) – общее решение однородного линейного дифференциального уравнения, когда f = 0. Это решение не зависит от воздействия (x) и называется свободной составляющей общего решения, которое известно и равно:

, где p_i – корни характеристического уравнения, A_i – постоянные интегрирования.

y₂(t) – это частное решение НЛДУ, оно зависит от x(t), а потому называется вынужденной составляющей общего решения.

3) Нахождение вынужденной составляющей y₂(t).

Она зависит от воздействия. Если входной сигнал имеет стационарный режим, то за частное решение принимают решение уравнения в установившемся (стационарном) режиме. При ступенчатом воздействии такой режим имеет место, когда t  . Это соответствует постоянной составляющей, т.е. гармоническому сигналу с нулевой частотой, , а потому y₂(t) находят из схемы замещения исходной цепи при  = 0.

4) Нахождение p_i.

Коэффициенты экспоненты находятся как корни характеристического уравнения, которое получают из дифференциального путем замены производных на :

.

5) Нахождение постоянных интегрирования A_i.

Постоянные интегрирования общего решения определяются из начальных условий (при t = 0) для искомой функции и ее производных:

; ; .

Конкретные значения этих функции при t = 0 находят из схем замещения исходной цепи при t = +0 с учетом законов коммутации для L, C-элементов. Если входной сигнал – ступенчатая функция, то мгновенному изменению входного сигнала при t = 0 соответствует гармонический сигнал с   , а потому искомые значения находят из схемы замещения исходной цепи при   .

6) Анализ корней характеристического уравнения и запись окончательного решения.