34.Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение ча­стот количественного признака X. Введем обозначения: п —число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х; п — общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события X <х* равна п_х}п .

Эмпирической функцией распределения (функцией рас­пределения выборки) называют функцию F*(х), равная относительной частоте появления события {X<x}, найденной по данной выборке F(x)=n(x)/n,где нх – количество вариант, меньших х

Для нахождения э.ф. распределения выборки удобнее вычислять сначала относительные частоты попадания случайной велиичны в i-тый вариант wi = ni/n а затем накопленные частоты n(xi) – сумму отн частот w1+w2+w3…

из опре­деления функции F*(х) вытекают следующие ее свойства:

1) значения эмпирической функции принадлежат от­резку [О, 1];

2) F*(x) — неубывающая функция;

_{3) если} х₁ — наименьшая варианта, то F*(х)=0 при x если x — наибольшая варианта, то F* (х) = 1 при x > x

35 Статистические характеристики выборки (выборочная средняя, дисперсия выборки, выборочно среднее квадратическое отклонение)

Выборка - часть генеральной совокупности, элементы которой подвергаются статистическому изучению; предполагается, что элементы этой части выбраны из генеральной совокупности случайным образом.

Число объектов статистической совокупности называется её объёмом.

Объём генеральной совокупности обозначается N, а объём выборочной совокупности n.

Случайная выборка из n элементов - это такой отбор, при котором элементы извлекаются по одному из всей генеральной совокупности и каждый из них имеет равный шанс быть отобранным.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка n

Выборочна средняя – среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности. X(b) с чертой = (х1+х2…)/n

Свойство – при увеличении обьема фборки выбор.средняя стремится по вероятности к генеральной средней.

Дисперсия выборки – среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения D=(сумма (Xi-Xb)^2)/2

Определение. Средним квадратическим отклонением  случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

 Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.

36Эмпирические моменты (асимметрия, эксцесс)

Для вычисления свободных хар-к выборки удобно пользоватся эмпирическими моментами

Обычный э.м. порядка к – среднее значение к-х степеней разности xi-C: M’k=(сумма (ni(xi-C)^k))/n, где хi – наблюдаемая варанта, ni – частота варианты, n- обьем выборки, С – произвольное постоянное число (ложный нуль)

Начальный эмпирический момент порядка k – обычный момент порядка к при С=0

Центральный эмпирический момент порядка к – обычный момент порядка к при C=xb, в частности, при к = 2 момент равен дисперсии.

Вычисление центральных моментов требует громоздких вычислений, поэтому их можно заменить условными

Условный э.м. порядка к – начальный момент порядка к, вычисленый для условных вариант M*k=(сумма (ni*ui))/n

Для оценки отклонения эмпири. Распр. От норм. Исп. Различ. Хар-ки.

Ассиметрия эмп. Распр. – отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратичного отклонения a(s)=m(3)/сигма в кубе

Экцесс эм. Распр. – хар-ка, опр. Равенством – e(k)=m(4)/сигма(b)^4-3]

Где m- центр. Эмпир. Момент порядка 3(4)