22. Определение n- мерного векторного пространства. Свойства.

Векторное пространство называют. n-мерным (или имеет «размерность n»), если в нём существуют n линейно независимых элементов e₁, e₂, ...e_n, а любые n+1 элементов линейно зависимы. Векторное пространство называют бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства образуют базис этого пространства. Если e₁, e₂, ...e_n - базис векторного пространства, то любой вектор x этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов: x = α₁e₁ + α₂e₂ + ... + α_ne_n. При этом числа α₁, α₂, ...,α_n называют координатами вектора x в данном базисе.

Примеры векторных пространств:

Множество всех векторов 3-мерного пространства образует векторное пространство. Более сложным примером может служить так называемое n-мерное векторное пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел (λ₁, λ₂, ..., λ_n). Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями: (λ₁, λ₂, ..., λ_n) + (μ₁, μ₂, ..., μ_n) = = (λ₁ + μ₁, λ₂ + μ₂, ..., λ_n + μ_n), α∙(λ₁, λ₂, ..., λ_n) = (α∙λ₁, α∙λ₂, ..., α∙λ_n). Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов: e₁ = (1, 0, ..., 0), e₂ = (0, 1, ..., 0), ...e_n = (0, 0, ..., 1).

Множество L всех многочленов α₀ + α₁u + ... + α_nuⁿ (любых степеней n) от одного переменного с действительными коэффициентами α₀, α₁, ..., α_n с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует векторное пространство. Многочлены 1, u, u², ..., uⁿ (при любом n) линейно независимы в L, поэтому L - бесконечномерное векторное пространство. Многочлены степени не выше n образуют векторное пространство размерности n+1; его базисом могут служить многочлены 1, u, u², ..., uⁿ.

23. Скалярное произведение векторов. Пример в д. Метеорологии.

Скаля́рное произведе́ние— операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины данного вектора а на проекцию другого вектора b на данный вектор а.

Из ф-лы следует, что , если - острый угол, , если - тупой угол; в том и только в том случае, когда векторы и перпендикулярны (в частности, , если или ).