Вычисление объемов с помощью определенного интеграла по известным площадям поперечных сечений.

Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений. Пусть тело Т находится между двумя плоскостями . Тогда его объем вычисляется по формуле

где S(c) — площадь сечения тела плоскостью х = с, перпенди­кулярной оси Ох и проходящей через точку на этой оси. В частности, отсюда получаются формулы для объема тел вращения.

Объем тела вращения. Объём тела, полученного, при враще­нии вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривыми , _{находятся по формуле}

Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций. Определение и формула Ньютона-Лейбница. Исследование сходимости интегралов

Понятие определенного интеграла от ограниченной функции по конечному отрезку [a;b] распространяют на случаи, когда либо промежуток интегрирования является бесконечным ("бесконечность — сбоку"), либо функция является неограни­ченной ("бесконечность — сверху"). Различа­ют несобственные интегралы первого и второго родов. Общая конструкция интеграла как предела интегральных сумм в этих случаях "не проходит". Из положения выходят так: сначала бес­конечность "отрубают", а затем несобственные интегралы опре­деляют как пределы определенных интегралов в старом смысле (собственных интегралов) с переменными пределами интегри­рования.

Пусть функция непрерывна на полупрямой Несобственным интегралом от функции по бесконечному промежутку , или несобственным интегралом первого рода, называется предел

Если указанный предел существует и равен некоторому числу, то интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Для несобственных интегралов сохраняется формула Ньютона-Лейбница

Что такое дифференциальное уравнение и его решение ? При­меры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям (за­дача о радиоактивном распаде и задача о колебании груза напружине).

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется со­отношение , связывающее независимую переменную х, функцию у — у(х) и её производные у', у",..., у(ⁿ). Порядок n старшей производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциально­го уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется функ­ция , при подстановке которой в уравнение получается тождество. Решить уравнение — это значит найти все его ре­шения. Решение уравнения часто получается в виде функции, заданной неявно уравнением Ф(х,у) = 0. Решения уравнения иногда называют его интегралами.