- •1. Детерминированные, неопределенные и случайные события. Понятие статистической однородности. Примеры.
- •2. Определение вероятности – классическое, частотное, теоретико-множественное (аксиоматическое). Иллюстрирующие примеры.
- •3. Операции над событиями. Несовместные и независимые события, условная вероятность. Примеры.
- •4. Теорема о вероятности суммы двух и трех событий (без док-ва, с геометрической иллюстрацией).
- •5. Теорема о вероятности произведения двух событий (без док-ва, для зависимых и незваисимых событий).
- •6. Формула полной вероятности (с док-вом).
- •7. Формула Байеса (с док-вом).
- •8. Схема повторных испытаний. Расчет вероятности хотя бы одного успеха. Формула Бернулли.
- •9. Наивероятнейшее число успехов в серии п испытаний (без вывода).
- •10. Распределение Пуассона как предельный случай биномиального распределения (без вывода).
- •11. Случайные дискретные величины, их числовые характеристики.
- •12. Функция распределения и плотность вероятности случайных непрерывных величин. Их типовые графики. Расчет ф-ции распределения по плотности вероятности и наоборот.
- •13. Равномерное случайное распределение. Задача о встрече.
- •14. Показательный закон распределения, функция надежности.
- •15. Нормальное распределение, функция Лапласа. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило 3-х сигма.
- •16. Числовые характеристики случайных величин, их вычисление. Содержательный смысл и свойства математического ожидания и дисперсии.
- •17. Свойства математического ожидания одной и нескольких случайных величин.
- •18. Свойства дисперсии одной и нескольких случайных величин.
- •19. Математическое ожидание и дисперсия биномиального и пуассоновского случайных распределений.
- •24. Закон больших чисел (формулировка и применения).
- •25. Объяснить на примерах понятия «генеральная совокупность», «варианта», «выборка», «вариационный ряд». Принципы формирования выборочной совокупности.
- •26. Дискретный и интервальный вариационные ряды. Формула Стёрджеса. Как рассчитать среднюю величину признака интервального вариационного ряда?
- •27. Размах, мода и медиана выборки.
- •28. Полигон и кумулята. Графический способ нахождения моды интервального вариационного ряда.
- •29. Коэффициент концентрации Джини и кривая Лоренца.
- •30. Точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности. Какая оценка параметра генеральной совокупности называется несмещенной, состоятельной (на примере мо)?
- •31. Построение доверительного интервала по большой выборке для математического ожидания генеральной совокупности при известной дисперсии. Вероятностный смысл заданного параметра надежности.
- •33. Построение доверительного интервала для дисперсии при условии, что признак имеет нормальное распределение в генеральной совокупности.
- •34. Проверка статистических гипотез. Ведущая и конкурирующая гипотезы. Ошибки 1-го и 2-го рода. Как влияет на ошибку 2-го рода увеличение доверительной вероятности для ведущей гипотезы?
- •35. Мощность критерия, его вероятностный смысл.
- •36. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события. Двусторонний, правосторонний и левосторонний критерии.
- •37. Критерий Пирсона для проверки гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по выборочным данным.
- •38. Функциональная, статистическая и корреляционная связи. Примеры.
- •39. Коэффициент корреляции. Эмпирическая характеристика тесноты связи между случайными величинами по числовым значениям коэффициента корреляции.
- •40. Метод наименьших квадратов для построения уравнения парной регрессии y на X. Проверка значимости коэффициента корреляции.
19. Математическое ожидание и дисперсия биномиального и пуассоновского случайных распределений.
CВ, равная количеству успехов при проведении испытаний по схеме Бернулли, имеет биномиальное распределение.
МХ = 0*qn+1*C1npqn-1+2*C2np2qn-2+…+(n-1)Cn-1np n-1q+np
X=ξ1+…+ ξn, где ξi – число успехов в i-ом испытании
ξi = 1, если ξi: 0 1; 0, если р: q p
МХ = ∑ni=1 Мξi = np DХ = ∑ni=1 Dξi = npq
Dξi = M(ξi)2 – (Mξi)2 = 0*q+1*p-p2 = p-p2 = p(1-q) = pq
Х – СВ по закону Бернулли:
МХ=np, DX=npq, σX=√npq
Пуассоновское распределение. Распределение Пуассона есть распределение дискретной случайной величины, которая равна числу успехов в определенном интервале.
Pk= ℓimCknpk(1-p)n-k = ℓim [n(n-1)…(n-k+1) * a k 1- a a-k
k! n n
= ak/k! ℓim(1-1/n)…(1-(k-1)/n)*[(1-a/n)n/(1-a/n)k]=
ak/k! ℓim(1-a/n)n = ak/k! ℓim[(1-x)1/x ]-a = ak/k! * e-a, при n→∞
МХ=а, DX=а, σX=√а; ℓim npq = ℓim np(1-p) = ℓim np(1-a/n) = a, при n→∞, np=a
20. Математическое ожидание и дисперсия равномерного случайного распределения (с выводом формул).
Равномерное распределение а≤ Х≤ b
P(x) = 1b-a
MX = abx*pxdx= abxb-adx= 1b-a* x22 ba= b2- a2(b-a)= a+b2
DX = M(X2) – (MX)2 = abx2= 13(b-a)*b3-a3- aa+b22= a2+ab+b23-a2+ 2ab+ b24= a2-2ab+b212=b-a212
21. Локальная теорема Муавра-Лапласа (формулировка и значение).
Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.
22. Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа (формулировка и значение).
Показывает как вычислить вероятность Рn(k1,k2) того, что событие А появится в n испытаниях не менее k1 и не более k2 раз.
23. Центральная предельная теорема. В чем состоит ее общность по сравнению с интегральной предельной теоремой Муавра-Лапласа?
Пусть Х1, Х2, …, Хn, … - независимые СВ, кот. определены на интервале (-∞; +∞)
Sn = х1+х2+…+хn+…, MSn, DSn
Sn = (Sn –M Sn)/√DSn
Теорема: Если 1. для люб n сущ МХn и DXn 2.выполняется некоторое тех условие на центральные моменты 3-го порядка для Хi (i=1,…) тогда вер-ть того, что Р(х1< Sn <x2) = Р((х1 - MSn )/ √DSn < Sn <((х2 - MSn )/ √DSn) ≈ Ф ((х2 - MSn )/ √DSn) - Ф ((х1 - MSn )/ √DSn)
Центр пред теор сильнее, чем интегральная теор Муавра-Лапласа, т.к. х1,х2,…,хn могут быть разные независимые СВ (а в теор Муавра-Лапласа все эти величины распределены по Бернулли).
24. Закон больших чисел (формулировка и применения).
Под законом больших чисел понимается совокупность предложений, в которых утверждается, что с вероятностью, как угодно близкой к единице, отклонение средней арифметической достаточно большого числа случайных величин от постоянной величины - средней арифметической их математических ожиданий, не превзойдет заданного как угодно малого числа.
Отдельные, единичные явления, которые мы наблюдаем в природе и в общественной жизни, часто проявляются как случайные (например, регистрируемый смертный случай, пол родившегося ребенка, температура воздуха и др.) вследствие того, что на такие явления действует много факторов, не связанных с существом возникновения или развития явления.
Нер-во П.Л.Чебышева: СВ Х, где a<Х<b, МХ, DX, для любого ε>0, Р(|Х-МХ|>ε) ≤ DX/ε2
Доказательство: DX= ∫ba (x-MX)2 p(x)dx ≤ ∫(x-MX)2 p(x)dx ≥ |x-MX| ≥ε =>
a( )b
|x-MX|<ε
≥ε2 ∫p(x)dx = ε2P(|x-MX|>ε
P(|η n-M η n |>ε →0, при n→∞, для любого ε>0 –Закон больших чисел.
Применение: 1. Производится n измерений х1, х2,…,хn. По закону больших чисел за окончательный результат следует взять х = х1+ х2+…+хn / n
2. Сущ. 2 определения вер-ти
Классическое Р(А)=m/n, ℓim m/n = P (A), при n→∞
Sn = ξ1 +ξ2 +…+ξn , ξi = 1, если в i-ом испытании событие А; 0, если в i-ом испытании событие не А
М ξi = Р(А); η n= Sn /n
ξi: 0 1
Р: 1-Р(А) Р(А); Мη n =(1/n)*М Sn = 1/n(Мξ1 +Мξ2 +…+Мξn) = 1/n( Р(А)+Р(А)+…+Р(А))= (nР(А))/n=Р(А)
η n= Sn /n=m/n