1)21. Линейная независимость системы векторов.

Векторы называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю, только при условии, если все её комбинации равны 0.Единичным вектором еi называется вектор, i-я компонента которого равна 1, а остальные нули.Семейством векторов называется конечное упорядоченное множество векторов.

2) «71»Достаточное условие экстремума функции в точке.

Первое достаточное условие экстремума.Теорема. Если при переходе через точку X₀ производная дифференцируемой ф-и y=ƒ(x) меняет свой знак, с плюса на минус, то точка X₀ есть точка максимума ф-и y=ƒ(x), а если с минуса на плюс,- то точка минимума.

Схема исследования ф-и y=ƒ(x) на экстремум.1) Найти производную y' = ƒ'(x).2)Найти критические точки ф-и, в которых производная ƒ'(x)=0 или не существует.3)Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов ф-и.4)Найти(экстремальные значения) ф-и.

Второе достаточное условие экстремума.Теорема. Если первая производная ƒ'(x) дважды дифференцируемой ф-и равна нулю в некоторой точке X_0, а вторая производная в этой точке ƒ''(X₀) положительна, то X₀ есть точка минимума ф-и ƒ'(x); если ƒ''(X₀) отрицательна ,то X₀ – точка максимума.

Схема исследования функции на экстремум:

1Найти производную.2)Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.3)Найти вторую производную и определить её знак в каждой критической точке.4)Найти экстремумы функции.

Теорема(достаточное условие перегиба).Если вторая производная ƒ''(X) дважды дифференцируемой ф-и при переходе через некоторую точку X₀ меняет свой знак, то X₀ есть точка перегиба ее графика.

3) «90» Предел функции нескольких переменных, частное и полное приращение функции, непрерывность функции

Число А наз пределом функцииZ=f(x,y) при стремлении точки М(х,у)→М0(х0,у0) если для любого сколь угодно малого положительного числа ε существует δ>0, что для всех точек М удовлетворяющих ρ(М0,М)< δ выполняется неравенство |f(x,y)|-А<ε А= lim(m→m0)f(x,y)= lim(x→x0 y→y0)f(x,y)

Если предел существует, то от М к М0 можно стремится по любой линии соедин-й эти точки и эти пределы будут равны. Если получается что при стремлении от М к М0 по различным линиям и пределы при этом не равны, то это говорит о том что предел не существует.

Полное и частное приращение функции нескольких переменных

Пусть дана  Z=f(x,y) которая определена в области Д Придадим переменной х приращение ?ха переменную у оставим без изменения.    Часным приращением фун Z=f(x,y) по переменной х называют величина ?хz которая определяется соотношением        ?хz =f(x+?х,y)- f(x,y).    Аналогично определяется часное приращение функции по переменной «у». ?уz =f(x, ?у+y)-f(x,y)

Полным приращением функции Z=f(x,y) наз  величина ?Z которая определяется сотношением ?z =f(x+?х, ?у+y)-f(x,y)

Пусть в пространстве заданны две точки M(x1, y1,z1) N(x2,y2,z2)

Растоянием между двумя  точками наз величина ρ(N;M)=

=√(х2-х1)2+(у2-у1)2+(z2-z1)2 Дельта (δ) окресностью точки М0 наз множество точек М для которых выполняется неравенство

δ(М0 М)< δ   на плоскости δ-окрестностью точки М0 представляет собой круг радиуса δ с центром в точке М0.

Определение непрерывности функции

Функция , называется непрерывной в точке , если выполняется одно из эквивалентных условий:

1) ;     (1)

2) для произвольной последовательности (x_n) значений , сходящейся при n → ∞ к точке x₀, соответствующая последовательность (f(x_n)) значений функции сходится при n → ∞ к f(x₀);

3) или f(x) - f(x₀) → 0 при x - x₀ → 0;

4) такое, что

Из определения непрерывности функции f в точке x₀ следует, что

Если функция f непрерывна в каждой точке интервала ]a, b[, то функция f называется непрерывной на этом интервале.

Билет №9

1. «23» Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ)

2. «72» Выпуклость графика функции. Достаточное условие выпуклости графика функции.

«73»Точки перегиба графика функции. Достаточное условие точек перегиба графика функции

3. «129» Локальная теорема Лапласа.

«130»Интегральная теорема Лапласа

4. Найти натуральны неопределенный

1)«23» Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ)

Связь между отраслями, как привило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутри производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

Введем следующие обозначения:

x_i - общий (валовой) объем продукции i-й отрасли (i = 1,2,...,n);

x_ij - объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства (i,j = 1,2,...,n);

y_i - объем конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления.

Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, то x_i = (x_i1 + x_i2+ ... + x_in) + y_i , (i = 1,2,...,n).

Эти уравнения (их n штук) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения, имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат: a_ij = x_ij / x_j , (i,j = 1,2,...,n),

показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы стоимости j-й отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты a_ij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е. x_ij = a_ijx_j , (i,j = 1,2,...,n),

вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.

Теперь соотношения баланса примут вид:

x_i = (a_i1x₁ + a_i2x₂ + ... + a_inx_n) + y_i , (i = 1,2,...,n),

Обозначим

||

x1

||

||

a11

a12

...

a1n

||

||

y1

||

||

x2

||

||

a21

a22

...

a2n

||

||

y2

||

X

=

||

...

||

,

A

=

||

...

...

...

...

||

,

Y

=

||

...

||

,

||

xn

||

||

a1n

a2n

...

ann

||

||

yn

||

где

X - вектор валового выпуска;

A - матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица);

Y - вектор конечного продукта.

Тогда соотношения баланса можно записать в виде: X = AX + Y.