- •2. . Он называется сходящимся, если существует конечный предел частичного интервала . В противном случае он расходящийся.
- •14.Достаточные условия экстремума функции многих переменных с использованием второго дифференциала и критерия Сильвестра.
- •15. Определение двойного интеграла
- •1.2. Основные свойства двойного интеграла
- •1.4. Геометрическая трактовка двойного интеграла
- •20. Интегрируемые типы уравнений первого порядка
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- •Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной .
- •24 Метод вариации произвольных постоянных
- •Остаточные признаки сходимости знакоположительного ряда.
- •Сходящиеся, абсолютно сходящиеся и условно сходящиеся комплексные ряды
- •Функции комплексной переменной как суммы абсолютно сходящихся степенных рядов. Формула Эйлера
1. Приложения определённого интеграла бывают: физические, экономические, геометрические.
Геометрические: площади плоских фигур, длины дуг плоских и пространственных кривых, объёмы тел по площади поверхности сечения, объёмы тел вращения, площади поверхности вращения.
Площади поверхности плоских фигур:
y=f2(x) f1(x)≤y≤ f2(x); a≤x≤b
y=f1(x) |
x =φ(t) y=ψ(t), tϵ[α;β]
|
Площадь криволинейного сектора |
|
Вычисление длины дуги кривой. |
(параметрически) (декартовая система координат) |
пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t) |
(декарт.) , = f() (полярн.) |
Объем тела вращения. тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной на отрезке [a; b] |
|
заключено между плоскостями x = a и x = b, а площадь его сечения плоскостью, проходящей через точку x, – непрерывная на отрезке [a; b] функция σ (x). |
|
Площадь поверхности вращения. |
|
2. Несобственный интеграл 1-ого рода – интервал на бесконечном промежутке от ограниченной функции. Это число I, равное:
1. . Он называется сходящимся, если существует конечный предел частичного интервала . В противном случае он расходящийся.
2. . Он называется сходящимся, если существует конечный предел частичного интервала . В противном случае он расходящийся.
3. . Разбивается на два интеграла: . Сходится, если сходятся оба интеграла. В противном случае – расходится.
Несобственный интеграл 2-ого рода – интеграл по конечному промежутку от неограниченной функции.
Несобственный интеграл 2-ого рода с особенностью на правой границе называется сходящимся, если существует конечный предел частичных сумм. Сходным образом дают определение н.и.2-ого р. на нижнем пределе интегрирования внутри промежутка.
3. Пусть D-некоторое множество точек на плоскости Оху. Величина Z называется функцией переменных величин x и y на множестве D, если каждой точке этого множества соответствует одно определенное значение величины Z и пишут.
Число Z называется значением функции f в точке (х; у). Переменную Z называют зависимой переменной, а переменные x и y – независимыми переменными (или аргументами); множество D – областью определения функции. Упорядоченная пара значений x и y называется точкой М(х;у), а функция двух переменных - функцией этой точки Z=f(M). Областью определения функции в этом случае является некоторое множество {M} точек плоскости.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Число А называется пределом функции Z=f(M) в точке M0, если функция Z=f(M) определена в окрестности точки M0 и для любого ε>0, δ>0 такое что при |M0M|<δ, выполняется неравенство |f(M)-A|<ε.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функция Z=f(M) называется непрерывной в точке M0, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т.е.
Поскольку точки непрерывности функции задаются условием , то часть свойств функций, непрерывных в точке , следует непосредственно из свойств пределов. Сформулируем их в виде следующей теоремы.
ТЕОРЕМА: всякая элементарная ф. м. п. непрерывна в каждой точке области определения.
4. Z = f(x,y) определена в окрестности (х0;у0). Частные функции по переменной Х обозначаются: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной. Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций.
Геометрическое изображение функции двух переменных.
Рассмотрим функцию z = f(x,y) , определенную в некоторой области М на плоскости Оху. Тогда множество точек трехмерного пространства с координатами (x,y,z), где , является графиком функции двух переменных. Поскольку уравнение определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве, она и будет геометрическим изображением рассматриваемой функции.
z
z = f(x,y)
M y
Примеры:
z = ax + by + c
и поверхностей второго порядка:
z = x² + y² (параболоид вращения),
(конус) и т.д.
Для функций, заданных явно z = f(x;y):
Уравнение касательной плоскости:
Прямая, проходящая через точку Мо и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке, называется нормалью.
Уравнение нормали:
Для функций, заданных неявно F(x,y,z) = 0:
Уравнение касательной плоскости:
Уравнение нормали:
5. Определение 2.1. Полным приращением функции u = f(x, y, z) называется
Теорема 2.1. Если частные производные существуют в точке (х0 , у0 , z0) и в некоторой ее окрестности и непрерывны в точке (x0 , y0 , z0) , то
,
где α, β, γ – бесконечно малые, зависящие от Δх, Δу, Δz.
Можно показать, что где . Действительно, α, β и γ – бесконечно малые при ρ→0, а - ограниченные (т.к. их модули не превышают 1).
Тогда приращение функции, удовлетворяющей условиям теоремы 2.1, можно представить в виде: ,
где
Определение 2.2. Если приращение функции u = f (x, y, z) в точке (x0 , y0 , z0) можно представить в виде (2.3), (2.4), то функция называется дифференцируемой в этой точке, а выражение - главной линейной частью приращения или полным дифференциалом рассматриваемой функции.
Обозначения: du, df (x0 , y0 , z0).
Так же, как в случае функции одной переменной, дифференциалами независимых переменных считаются их произвольные приращения, поэтому
Необходимое условие дифференцируемости функции в точке: если функция дифференцируется в точке, то она в ней непрерывна.
6. Если функция имеет непрерывные частные производные в некоторой точке, то она в ней дифференцируема. При этом:
dz(x0,y0)= y, при этом dx=x-x0, dy=y-y0
7. Если z=f(x,y) диф-ма в точке , функции x=φ(t), y=ψ(t) диф-мы в т. tо , то функция сложной функции вычисляется по формуле:
Следствие: если в дополнение к условиям x=φ(u,v), y=ψ(u,v), то:
8. z=f(x,y) - числовая (или скалярная) функция, то говорят, что она задаёт скалярное поле.
Линией уровня ф-ии 2-ух переменных наз-ся линия, в каждой точке которой одно и то же постоянное значение: z=C f(x,y) = C
Функция, где больше 3-ёх перемен.: поверхность, на которой функция принимает одно и то же значение, наз-ся поверхностью уровня: u=f(x,y,z), u=C f(x,y,z)=C
Производная скалярного поля в Мо в направлении единичного вектора l=(cosα,cosβ,cosγ) наз-ся число: . Она равно проекции градиента по направлению: : /
Вектор, координатами которого в каждой точке некоторой области являются частные производные функции u = f (x, y, z) в этой точке, называется градиентом функции u = f (x, y, z).
Обозначение: grad u = .
Свойства градиента.
Производная по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектора grad u на вектор S.
Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, равное |grad u |, если это направление совпадает с направлением градиента.
Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad u , равна нулю.
Если z = f (x,y) – функция двух переменных, то grad f = направлен перпендикулярно к линии уровня f (x,y) = c, проходящей через данную точку.
9. Частные производные высших порядков.
-
z=f(x,y)
z`x
z`y
z``xx
z``xy
z``yx
z``yy
Теорема о смешанной производной: если функция имеет непрерывную производную до n-ого порядка включительно в т. Мо, то в этой точке
10. Частные производные функции z = f (x,y) являются, в свою очередь, функциями переменных х и у. Следовательно, можно найти их частные производные по этим переменным. Обозначим их так:
Таким образом, получены четыре частные производные 2-го порядка. Каждую из них можно вновь продифференцировать по х и по у и получить восемь частных производных 3-го порядка и т.д.
Частной производной n-го порядка функции нескольких переменных называется первая производная от производной (n – 1)-го порядка.
Частные производные обладают важным свойством: результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования (например, ).
Дифференциалом второго порядка функции u = f (x, y, z) называется
Кратко:
Дифференциалом порядка k называется полный дифференциал от дифференциала порядка (k – 1): d k u = d (d k-1 u).
Свойства дифференциалов высших порядков.
k-й дифференциал является однородным целым многочленом степени k относительно дифференциалов независимых переменных, коэффициентами при которых служат частные производные k-го порядка, умноженные на целочисленные постоянные (такие же, как при обычном возведении в степень): .
Дифференциалы порядка выше первого не инвариантны относительно выбора переменных.
11. Функция у от х, определяемая уравнением F (x, y) = 0, называется неявной функцией.
Условия существования однозначной и непрерывной неявной функции:
Пусть:
существует т. ( : F( 0,у0)=0
В окрестности этой точки функция непрерывна и диф-ма, причём .
Тогда
а) в некоторой окрестности точки (х0 , у0 ) уравнение определяет у как однозначную функцию от х: y = f(x);
б) при х = х0 эта функция принимает значение у0: f (x0) = y0 ;
в) функция f (x) непрерывна.
Дифференцируемость.
Пусть функция у от х задается неявно, где функция F (x,y). Пусть, кроме того, - непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку (х,у), причем в этой точке . Тогда функция у от х имеет производную
Пример. Найдем , если . Найдем , .
получаем: .
12. S: F(x,y,z)=0, Mo(xo,yo,zo) ϵ S
Полагаем, что F имеет непрер. частн. производ. в окрестности т. Мо, причём F`z(Mo) . Тогда уравнение касательной: F`x(Mo)(x-xo)+F`y(y-yo)+F`z(z-zo)=0
уравнение нормали:
13. локальный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие экстремума.
Определение 1. Пусть функция f(x1, ..., xm) определена на множестве . Внутренняя точка называется точкой локального максимума (минимума), если существует такая окрестность U(M0) точки М0, что для всех М(х1, ..., хm) U(M0) выполняется неравенство f(M) f(M0) [f(M) f(M0)].
Определение 2. Точка М0 локального максимума или локального минимума называется точкой локального экстремума.
Теорема (Необходимое условие локального экстремума). Пусть функция f(x1, ..., xm) определена в некоторой окрестности т. , дифференцируема в точке М0, и имеет в этой точке локальный экстремум, тогда все частные производные первого порядка функции f в т. М0 равны нулю: