1. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства. Вычисление криволинейного интеграла I рода.

Пусть АВ - дуга гладкой кривой, на которой определена и непрерывна скалярная функция f (x, y, z). Выполним следующие действия: 1) разобьем дугу АВ произвольным образом на n частичных дуг ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn Через λn обозначим длину наибольшей из этих частичных дуг. Понятно, что при λn → 0автоматически n→ ∞; 2) выберем произвольным образом точки 3)составим интегральную сумму вида здесь под ΔSi понимаем длины частичных дуг.

Опр: Конечный предел интегральной суммы αn при λn → 0, если он существует и не зависит от способа деления дуги АВ на частичные дуги ΔSi(i=1,...,n) и от способа выбора точек Ni(xi,yi,zi) ΔSi(i=1,...,n) называется криволинейным интегралом первого рода (по длине дуги) от функции f (x, y, z). по дуге АВ и обозначается

Теорема. Если дуга АВ гладкая и функция f (x, y, z) непрерывна на ней, то интеграл существует.

Свойства. 1. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла. 2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых. 3. Если путь интегрирования разбит на конечное число частей, то интеграл по всему пути равен сумме интегралов по всем его частям. 4. Интеграл вдоль замкнутого контура не зависит от выбора начальной точки на этом контуре.

Вычисление. Пусть гладкая дуга AB задана параметрически уравнениями: x=x(t), y=y(t), z=z(t), где α ≤ t ≤ β Кроме того, на этой дуге определены и непрерывны функции f(x,y,z), тогда криволинейные интегралы могут быть вычислены следующим образом:

2. Криволинейный интеграл II рода. Его вычисление. Связь между криволинейными интегралами I и II рода.

Пусть АВ - дуга гладкой кривой, на которой определена и непрерывна векторная функция

Выполним следующие действия: 1) разобьем дугу АВ произвольным образом в направлении от А к B с помощью точек Мi (i = 1, ..., n) на n частичных дуг: Δl1, Δl2, ..., Δli, ..., Δln. Пусть λn - наибольшая из длин частичных дуг. Понятно, что если λn → 0, то n → ∞ 2) выберем произвольным образом точки Ni(xi, yi, zi) Δli (i=1,...,n) 3) организуем векторы и вычислим значения векторной функции в точках Ni (i = 1, ..., n) т. е. (Ni)=(P(Ni), Q(Ni), R(Ni)) 4) составим интегральную сумму вида

Опр. Конечный предел интегральной суммы βn при λn → 0 если он существует и не зависит от способа деления дуги АВ на частичные дуги и от способа выбора точек Ni Δi(i=1,...,n), называется криволинейным интегралом второго рода (по координатам) от векторной функции =(P,Q,R) по дуге АВ в направлении от А к В и обозначается:

Геометрические и физические приложения интеграла разнообразны, некоторые из них будут упомянуты в дальнейшем. Из построения интеграла очевидно, что при изменении направления обхода дуги АВ интеграл меняет знак, т. е.

Теорема. Если дуга АВ гладкая, и функция = (P,Q,R) непрерывна на ней, то интеграл (3.3) существует.

Вычисление. Пусть гладкая дуга AB задана параметрически уравнениями: x=x(t), y=y(t), z=z(t), где α ≤ t ≤ β Кроме того, на этой дуге определены и непрерывны функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), тогда криволинейные интегралы могут быть вычислены следующим образом:

Взаимосвязь: Пусть на гладкой дуге АВ задана непрерывная векторная функция = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) и пусть М(x,y,z) - текущая точка дуги АВ, имеющая радиус – вектор . Обозначим - вектор, направленный по касательной к дуге АВ в точке M

Тогда величина есть проекция вектора на направление вектора . Таким образом, можно показать, что между криволинейными интегралами первого и второго рода существует связь: