БИЛЕТ!

1.1

Если тело движется равномерно вдоль некоторой заданной линии, то его положение на этой линии в любой момент времени находится просто. Известно, что, умножив скорость тела v на время t, протекшее до интересующего нас момента, мы получим длину пройденного пути l. И если известна точка, в которой находилось тело в начальный момент времени, то, отложив от нее вдоль линии, по которой движется тело, пройденный путь l, мы найдем точку, где тело окажется в момент времени t.

Тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь,называется материальной точкой. Понятие материальной точки играет важную роль в механике. Перемещаясь с течением времени из одной точки в другую, тело (материальная точка) описывает некоторую линию, которую называюттраекторией движения тела.

Положение материальной точки в пространстве в любой момент времени (закон движения) можно определять либо с помощью зависимости координат от времени x = x(t), y = y(t), z = z(t) (координатный способ), либо при помощи зависимости от времени радиус-вектора   (векторный способ), проведенного из начала координат до данной точки (рис. 1.1.1).              

1

Рисунок 1.1.1.   Определение положения точки с помощью координат x = x(t), y = y(t) и z = z(t) и радиус–вектора  .   – радиус–вектор положения точки в начальный момент времени.

Перемещением тела   называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением. Перемещение есть векторная величина. Пройденный путь l равен длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t. Путь – скалярная величина. Если движение тела рассматривать в течение достаточно короткого промежутка времени, то вектор перемещения окажется направленным по касательной к траектории в данной точке, а его длина будет равна пройденному пути. В случае достаточно малого промежутка времени Δt пройденный телом путь Δl почти совпадает с модулем вектора перемещения   При движении тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше пройденного пути (рис. 1.1.2).              

2

1.2

Закон сохранения момента импульса. Условия равновесия тел

Закон сохранения момента импульса. Условия равновесия телЗакон Ньютона для вращательного движения. Второй закон Ньютона для частицы, движущейся под действием силы F, может быть записан в виде: где p = mv - импульс частицы. Умножим это уравнение векторно на радиус-вектор частицы r. Тогда  (18.1)  Введем теперь новые величины - момент импульса L = r·p и момент силы N = r·F. Тогда полученное уравнение принимает вид:  (18.2) Для частицы, совершающей круговое движение в плоскости (x, y), вектор момента импульса направлен вдоль оси z (т.е. вдоль вектора угловой скорости w) и равен по модулю  (18.3) Введем обозначение: I = m·r2. Величина I называется моментом инерции материальной точки относительно оси, проходящей через начало координат. Для системы точек, вращающихся вокруг оси zс одинаковой угловой скоростью, можно обобщить определение момента инерции, взяв сумму моментов инерции всех точек относительно общей оси вращения: I = a·mi·ri2. С помощью понятия интеграла можно определить и момент инерции произвольного тела относительно оси вращения. В любом случае можно записать, что вектор момента импульса системы точек или тела, вращающихся с одинаковой угловой скоростью вокруг общей оси, равен  (18.4) Тогда уравнение движения тела, вращающегося вокруг некоторой оси, принимает вид:  (18.5) Здесь момент силы N - вектор, направленный вдоль оси вращения и по модулю равный произведению модуля силы на расстояние по перпендикуляру от точки приложения силы до оси вращения (плечо силы). Сохранение момента импульса в поле центральных сил. Если сила, действующая на тело со стороны другого тела (находящегося в начале координат), всегда направлена вдоль радиуса-вектораr, соединяющего эти тела, то она называется центральной силой. В этом случае векторное произведение r·F равно нулю (как векторное произведение коллинеарных векторов). Следовательно, равен нулю момент силы N и уравнение вращательного движения принимает вид dL/dt = 0. Отсюда вытекает, что вектор L не зависит от времени. Иными словами, в поле центральных сил момент импульса сохраняется.

БИЛЕТ2

2.1

Скорость тела в каждый момент времени или в каждой точке траектории называют мгновенной скоростью.

Как же определить мгновенную скорость шарика, например, в точке E? Если взять две соседние точки C и G, и длину отрезка CG разделить на время между вспышками, мы найдём среднюю скорость на отрезке CG.

Теперь сделаем вспышки, например в 2 раза чаще, чем в первом опыте. Тогда за время между вспышками шарик переместится меньше, и вблизи точки E появятся точки D и F. Мы сможем измерить перемещение DF, за время которого скорость менялась меньше, чем в случае с CG.

Итак, о мгновенной скорости тела можно судить по его средней скорости, если интервал времени наблюдения достаточно мал.

Формулу средней «путевой» скорости мы рассматривали в § 1-ж. По аналогии (то есть сходству) физическую величину, равную отношению вектора перемещения к интервалу затраченного на это времени, называют средней скоростью перемещения:

v – вектор мгновенной скорости, м/с    S – вектор перемещения, м  t – интервал времени, с

Если интервал времени постепенно уменьшать, то мы сможем находить среднюю скорость на всё более коротком отрезке пути. И при стремлении интервала времени к нулю средняя скорость будет «скоростью в точке», то есть станет мгновенной скоростью.

Итак, мгновенную скорость вычисляют отношением вектора перемещения к интервалу времени, затраченному на это перемещение, при условии, что интервал времени стремится к нулю:

при t –» 0

v – вектор мгновенной скорости, м/с    S – вектор перемещения, м  t – интервал времени, стремящийся к нулю, с

Вы видите, что в обеих формулах в рамках векторная величина (перемещение) делится на положительную скалярную величину (интервал времени). Из курса математики вы знаете, что в этом случае получается векторная величина (скорость), вектор которой сонаправлен с вектором перемещения за интервал времени t.

Рассмотрим это на примере точки E. На предыдущем рисунке вы видите векторы перемещений: SCG и SDF. С их помощью мы определяли скорость в точке E. На этом рисунке все векторы мгновенной скорости шарикарасположены касательно к траектории. С помощью параллельного переноса убедитесь, что вектор мгновенной скорости в точке E направлен также, как и векторы перемещений SCG и SDF.

Итак, вектор мгновенной скорости тела всегда направлен по касательной к траектории тела.

2.2

Сохранение момента импульса в поле центральных сил. Если сила, действующая на тело со стороны другого тела (находящегося в начале координат), всегда направлена вдоль радиуса-вектораr, соединяющего эти тела, то она называется центральной силой. В этом случае векторное произведение r·F равно нулю (как векторное произведение коллинеарных векторов). Следовательно, равен нулю момент силы N и уравнение вращательного движения принимает вид dL/dt = 0. Отсюда вытекает, что вектор L не зависит от времени. Иными словами, в поле центральных сил момент импульса сохраняется.

БИЛЕТ 3

3.1