Практическое занятие №3.

Решение типовых задач.

Задача 3.1. Система состоит из трех устройств. Интенсивность отказов электронного устройства равна ₁=0,16*10^-3 1/час = const. Интенсивности отказов двух электромеханических устройств линейно зависят от времени и определяются следующими формулами

₂=0,23*10^-4t 1/час, ₃=0,06*10^-6t^2,6 1/час.

Необходимо рассчитать вероятность безотказной работы изделия в течение 100 час.

Решение. На основании формулы (3.3) имеем

Для t=100 час

.

Задача 3.2. Система состоит из трех блоков, среднее время безотказной работы которых равно : m_t1=160 час; m_t2 =320 час; m_t3 = 600 час.

Для блоков справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется определить среднее время безотказной работы системы.

Решение. Воспользовавшись формулой (3.17) получим

Здесь _i - интенсивность отказов i -го блока. На основании формулы (3.11) имеем

1/час .

Здесь _c - интенсивность отказов системы.

На основании формулы (3.16) получим:

час .

Задача 3.3. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых _ср=0,32*10^-6 1/час. Требуется определить P_c(t), q_c(t), f_c(t), m_tc, для t=50 час.

Здесь P_c(t) - вероятность безотказной работы системы в течение времени t ;

q_c(t) – вероятность отказа системы в течение времени t ;

f_c(t) – частота отказов или плотность вероятности времени T безотказной работы системы;

m_tс – среднее время безотказной работы системы.

Решение. Интенсивность отказов системы по формуле (3.11) будет

_с=_ср*n=0,32*10^-6*12600=4,032*10^-3 1/час .

Из (3.13) имеем

Р_с(t)=e^-ct ; Р_с(50)=e^{-4?032*0,001*50}0,82 .

Из (3.15) получим

q_c(t)=_ce^-ct=_cP_c(t); q_c(50)=1-P_c(50) 0,18 .

Из (3.14) имеем

f_c(t)=_ce^-ct=_cP_c(t); f_c(50)=4,032*10^-3*0,82=3,28*10^-3 1/час.

Из (3.16) получим

m_tс=1/_c=1/4,032*10^-3250 час.

Задача 3.4. Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из них в течение времени t = 100 час равны: Р₁(100) = 0,95; Р₂(100) = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы.

Решение. Найдем вероятность безотказной работы изделия:

Р_с(100)=Р₁(100)*Р₂(100)=0,95*0,97=0,92 .

Найдем интенсивность отказов изделия, воспользовавшись формулой

Р_с(t)=e^-ct

или

Р_с(100)=0,92=e^-c100 .

По таблице П.7.14[1] имеем

_с*1000,083 или _с=0,83*10^-3 1/час .

Тогда

m_tс=1/_c=1/(0,83*10^-3)=1200 час.

Задача 3.5. Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t равна P(t) = 0,9997. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из n = 100 таких же элементов.

Решение. Вероятность безотказной работы системы равна Р_c(t)= Pⁿ(t)=(0,9997)¹⁰⁰.

Вероятность Р_c(t) близка к единице, поэтому для ее вычисления воспользуемся формулой (3.18). В нашем случае q(t)=1-P(t)=1-0,9997=0,0003.

Тогда Р_c(t) 1-nq(t)=1-100*0,0003=0,97.

Задача.З.6.Вероятность безотказной работы системы в течение времени t равна Р_c(t)=0,95. Система состоит из n= 120 равнонадежных элементов. Необходимо найти вероятность безотказной работы элемента.

Решение. Очевидно, что вероятность безотказной работы элемента будет

Так как Р(t) близка к единице, то вычисления Р(t) удобно выполнить по формуле (3.18).

В нашем случае q_c(t)=1- Р_c(t)=1-0,95=0,05.

Тогда

Задача 3.7. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых _ср =0,32*10^-6 1/час.

Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t = 50 час.

Решение. Интенсивность отказов системы по формуле (З.11) будет

_с=_ср*n=0,32*10^-6*12600=4,032*10^-3 1/час.

Тогда на основании (З.13)

Р_c(t)= е^-ct

или

Р_c(50)= е^{-4,032*0,001*50} 0,82.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4

Решение типовых задач.

Задача 4.1. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента m_t = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы m_tc, а также частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _с(t) в момент времени t = 50 час в следующих случаях:

а) нерезервированной системы,

б) дублированной системы при постоянно включенном резерве.

Решение.

а)

,

где с – интенсивность отказов системы; _i - интенсивность отказов i - го элемента ; n = 10.

_i=1/m_ti = 1/1000=0,001; i = 1,2, . . .,n ; =_i;

_c=n=0,001*10=0,01 1/час;

m_tc=1/_c=100 час;

f_c(t)=_c(t) P_c(t);

_c(50)=_c; P_c(t)=e^-ct;

f_c(50)=_ce^-ct=0,01*e^-0,01*506*10^-3 1/час;

_c(50)=0,01 1/час.

б) ; m=1 ; час ;

; ₀ =_c =0.01 1/час ;

;

;

;

f_c(50)4.810^-3 1/час ; _c(50)5.710^-3 1/час .

Задача 4.2. В системе телеуправления применено дублирование канала управления. Интенсивность отказов канала =10^-2 1/час. Рассчитать вероятность безотказной работы системы Р_с(t) при t=10 час, среднее время безотказной работы m_tc, частоту отказов f_c(t), интенсивность отказов _с(t) системы.

Решение. В данном случае n=1; _i= ; ₀=n=;m=1. По формуле (4.14) имеем

Р_с(t)=1-(1-e^-t)²;

Р_с(10)=1-(1-e^-0,1)² .

Из приложения П.7.14 [1] получим

e^-0,1=0,9048 .

Тогда

Р_c(10)=1-(1-0,9048)² =1-0,0952²1-0,01=0,99 .

Определим m_tс. Из формулы (4.4) имеем

час .

Определим частоту отказов f_c(t). Получим

Определим интенсивность отказов _с(t). Имеем

3адача 4.З. Нерезервированная система управления состоит из n = 5000 элементов. Для повышения надежности системы предполагается провести общее дублирование элементов. Чтобы приближенно оценить возможность достижения заданной вероятности безотказной работы системы Р_с(t) = 0,9 при t =10 час., необходимо рассчитать среднюю интенсивность отказов одного элемента при предположении отсутствия последействия отказов.

Решение. Вероятность безотказной работы системы при общем дублировании и равнонадежных элементах равна

P_c(t)=1-(1-e^-nt)²

или

P_c(t)=1-[1-Pⁿ(t)]²,

где

P(t)=e^-t .

Здесь Р(t) – вероятность безотказной работы одного элемента.

Так как должно быть

1-[1-Pⁿ(t)]²0,9,

то

.

Разложив по степени 1/n в ряд и пренебрегая членами ряда высшего порядка малости, получим

Учитывая, что P(t)= ехр (-t)1-t , получим

1-t1-6,32*10^-5

или

(6,32*10^-5)/t=(6,32*10^-5)/10=6,32*10^-6 1/час.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №5

Решение типовых задач.

Задача 5.1. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента m_t = 1000 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необходимо найти вероятность безотказной работы системы Р_с(t), среднее время безотказной работы системы m_tс, а также частоту отказов f_c(t) и интенсивность отказов _с (t)

в момент времени t = 50 час в следующих случаях:

а) нерезервированной системы,

б) дублированной системы при включении резерва по способу замещения (ненагруженный резерв).

Решение:

а)

где _с – интенсивность отказов системы, _i – интенсивность отказов i - го элемента; n = 10,

1/÷àñ ,

÷àñ ; p_c(t)= ;

f_c(t)=_c(t)p_c(t) ; _c(50)=_c ;

f_c(50)=_c =0.01e^-0.0150610^-3 1/÷àñ ;

_c(50)=0.01 1/÷àñ .

á) m_tc= ; m=1 ;

m_tc= =200 час .

Определяем Р_c(t) по формуле

Так как ₀=_с , то

P_c(t)=e^-сt(1+_ct) .