- •38. Дробные факторные планы (дробный факторный эксперимент): дробные реплики, определение, правило построения дробных факторных планов, генератор плана.
- •Правило построения дробных факторных планов
- •39. Оценка параметров нелинейного статического оу..
- •40. Планы для квадратичных моделей (планы второго порядка), постановка задачи, полные факторные планы
- •Ортогональный центральный композиционный план второго порядка.(возможно не надо)
- •41. Корреляционные методы: уравнение Винера-Хопфа, нахождение корреляционных функций, параметрический метод решения уравнения Винера-Хопфа.
- •42. Метод сопряженных направлений для квадратичной целевой функции..
- •43. . Дискретный аналог уравнения Винера-Хопфа
40. Планы для квадратичных моделей (планы второго порядка), постановка задачи, полные факторные планы
ОУ имеет 1 выход и n входов (факторов) и описывается квадратичной моделью вида
-- скаляр, -- скалярное произведение, -- квадратичная форма относительно матрицы C.
Полный квадратичный полином при n=2 содержит 6 членов.
n=3 – 11 членов
Для получения квадратичной зависимости каждый фактор должен фиксироваться как минимум на трех уровнях.
Пример:
Альтернативой планам с варьированием факторов на 3-х уровнях являются композиционные планы, основой которых является полный факторный эксперимент вида . К этим опытам добавляются другие фрагменты, содержащие опыты в центре плана и опыты в «звездных» точках. Эти планы позволяют использовать информацию, полученную при реализации линейного плана .
Область планирования должна:
-- включать область планирования планов первого порядка и дополнительные точки (такие планы называют композиционными);
-- не выходить за пределы единичного гиперкуба, т.е. для всех точек плана выполняется условие
-- не выходить за пределы единичного гипершара, определяемого соотношением таких значений факторов в плане, что .
Ортогональный центральный композиционный план второго порядка.(возможно не надо)
В ОЦКП входят: ядро - план ПФЭ с Nij = 2n точками плана, n0 (одна для этого плана) центральная точка плана и по две “звездные” точки для каждого фактора , – плечо “звездных” точек.
Общее количество точек в плане ОЦКП составляет ,
где для ОЦКП n0=1.
При n > 2 в ОЦКП оказывается меньшее количество точек, чем в плане ПФЭ 3n .
n |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
ОЦКП |
9 |
15 |
25 |
43 |
77 |
ПФЭ 3n |
9 |
27 |
81 |
243 |
729 |
Ортогональность плана:
Симметричность:
Преобразование элементов осуществляется в виде ,
где а – величина, зависящая от числа факторов.
Сумма элементов столбца, соответствующего квадратам факторов
Откуда
Условие ортогональности для столбцов и
После преобразований получаем (1)
(1)
Принимая во внимание , разделим на обе части последнего выражения. Получим (2)
Для упрощения этого выражения рассмотрим формулу для определения а:
Заменим в формуле (2) на
, .
Плечо звездных точек .(3)
При n=3 ,
.
41. Корреляционные методы: уравнение Винера-Хопфа, нахождение корреляционных функций, параметрический метод решения уравнения Винера-Хопфа.
Линейный динамический объект с одним входом и одним выходом . В общем случае переменные и являются случайными процессами. Для упрощения полагаем их стационарными. Требуется найти по известным реализациям входа и выхода на некотором интервале оценку оператора ОУ, под которым будем понимать весовую функцию .
Выход ОУ: . (1)где – весовая функция объекта, подлежащая оценке.Так как по условию вход – стационарный случайный процесс, его можно представить в виде постоянного математического ожидания и случайного центрированного процесса : В установившемся режиме такая структура будет иметь и выход:
Связь между случайным входом и случайным выходом определяется (1). Подставив в (1) интеграл (1) распадется на два интеграла, один из которых (2), а второй определяется математическим ожиданием. (2) – случайная составляющая выхода.
Умножим обе части (2) на и осуществим операцию математического ожидания над ними.
В результате получаем уравнение Винера-Хопфа: (3)Которое связывает взаимную корреляционную функцию входа и выхода с корреляционной функцией входа.
Для определения весовой функции в соответствии с (3) необходимо иметь информацию о корреляционной функции входа и взаимно корреляционной функции. Необходимо исключить верхний предел равный бесконечности.
– интервал корреляции, т.е. временный сдвиг между сечениями случайного процесса, начиная с которого корреляционная функция близка к 0.
Знач. случ. процесса при – сечение случайного процесса( )
– функция интеграла между двумя сечениями
Уравнение Винера-Хопфа примет вид (4): (4)
Оценки корреляционных ф-ий
Эти формулы справедливы для эргодического случайного процесса. Эргодический случайный процесс – стационарный случайный процесс, у которого характеристики, определенные по одной бесконечной реализации совпадают с характеристиками, найденными по множеству реализаций.
Параметрический метод решения уравнения Винера – Хопфа
Весовая функция разлагается по системе известных функций (5): (5). (5) подставим в (4) и используя квадратичный критерий идентификации, находятся оценки коэффициентов , которые минимизируют данный критерий.