Вопрос18. Гармонические колебательные движения.

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

или

,

где х — значение изменяющейся величины, t — время, остальные параметры — постоянные: А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний,   — полная фаза колебаний,   — начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

• Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвала бы затухание).

• Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной).

Вопрос19. Динамика гармонических колебаний.

Уравнение (1) дает зависимость колеблющейся величины S от времени t; это и есть уравнение свободных гармонических колебаний в явном виде. Однако обычно под уравнением колебаний понимают иную запись этого уравнения, в дифференциальной форме. Возьмем для определенности уравнение (1) в виде

(1)

        дважды продифференцируем его по времени:

        

        

        Видно, что выполняется следующее соотношение:

               ⁽²⁾

которое и называется уравнением свободных гармонических колебаний (в дифференциальной форме). Уравнение (1) является решением дифференциального уравнения (2). Поскольку уравнение (2) - дифференциальное уравнение второго порядка, необходимы два начальных условия для получения полного решения (то есть определения входящих в уравнение (1) констант A и j₀); например, положение и скорость колебательной системы при t = 0.

Вопрос20. Физический и математический маятники.

Физическим маятником называется твердое тело, колеблющееся относительно неподвижной горизонтальной оси (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести. При небольших углах отклонения (α-мал) физический маятник совершает гармонические колебания. Сила, возвращающая маятник в положение равновесия, представляет собой составляющую силы тяжести, приложенную в точке С:

F=mg·sinα

Момент этой силы относительно оси O равен:

M=-Fl=-mgd·sinα,

где l=d·sinα - плечо силы F относительно оси O, знак минус соответствует тому, что момент M стремится вернуть маятник в положение равновесия, аналогично квазиупругой силе.

В соответствии с уравнением динамики вращательного движения:

M=Iε,

где ε=d²α/dt² - угловое ускорение, I - момент инерции маятника относительно оси О. Получаем:

I·d²α/dt²=-mgd·sinα (9)

Ограничившись малыми колебаниями (sinα~α), после преобразований получаем уравнение (9) в виде:

(d²α/dt²) + (mgdα/I)=0 (10)

Сравнив выражения (5) и (10) мы видим их математическую аналогию, что позволяет записать выражения для циклической частоты и периода колебаний физического маятника:

ω₀=√(mgd/I) (11)

T₀=2π/ω₀=2π√(I/mgd), (12)

где d - расстояние от центра тяжести до оси вращения.

Если период колебаний не зависит от амплитуды, то такие колебания называются изохронными. Мы видим, что малые колебания физического маятника изохронны. Колебания приближенно изохронны, когда угловая амплитуда колебаний не превышает нескольких градусов. При больших амплитудах изохронность нарушается. На свойстве изохронности колебаний маятника основано его применение в часах.

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

и не зависит от амплитуды и массы маятника.

Уравнение колебаний маятника

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

где   ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция   ― это угол отклонения маятника в момент   от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах;   , где   ― длина подвеса,   ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:

.