24. Условный экстремум функции двух переменных (определение, метод подстановки и метод неопределенных множителей Лагранжа)

Условным extr функции называется extr этой функции при условии, что переменные x и y связаны уравнением - уравнение связи.

Таким образом extr ищется только на множестве тех точек плоскости, которые удовлетворяют этому уравнению. Если в уравнении связи одна переменная может быть однозначно выражена через другую, то достаточно записать . Далее обычным способом находится extr функции одной переменной.

Если же ниодна переменная не может быть выражена однозначно через другую, то в общем случае задачу об искании условного extr можно свести к исследованию на обычный extr вспомогательной функцией(так называемой функцией Лагранжа)

Необходимое условие условного экстремума:

Для того, чтобы точка была точкой условного экстремума функции необходимо, чтобы: 1)

;

В этой системе 3х уравнений можно найти переменные , т.е. стационарную точку при фиксированном .

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ условного экстремума: Пусть в точке возможного условного экстремума и её некоторой окрестности функция :

Причем все частные производные вычислены в стационарной точке, тогда:

1) если А>0 , то точка точка min 2) если А<0 , то точка точка max.

25. Наибольшее и наименьшее значение фнп в замкнутой и ограниченной области.

26. Определение первообразной функции. Теорема о свойствах первообразных функций.

Основной задачей интегрального исчисления является нахождение первообразной, т.е. по данной функции f(x) найти такую F(x), производная которой

Функция F(x) называется ПЕРВООБРАЗНОЙ для функции на интервале (a;b), если для всех значений х из инт. (a;b) выполняется равенство: F’(x)=f(x).

ТЕОРЕМА. Если F(x)-первообразная для f(x) на (a;b), то любая другая первообр. для f(x) на (a;b) может быть представлена в виде: F(x)+C.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть функция у(х)-первообразная для отличная от F(x). По определению первообразной

Вычтем почленно эти равенства. Получим: y’(x)-F’(x)=0. По правилу дифференцирования:

Т.е. каждая функция имеет бесконечное множество первообразных, одна из которых - F(x), а остальные F(x)+C.

27. Определение неопределенного интеграла. Теорема о существовании неопределенного интеграла (достаточное условие).

Если функция первообразная для ф-ции то множество функций , где С произвольная постоянная, называется НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ функции на этом интервале и обозначается .