Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида
где p, q − постоянные коэффициенты.
Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:
Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:
1)Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k1 и k2 действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией
где C1 и C2 − произвольные действительные числа.
2)Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k1 второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:
3)Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k1 = α + βi, k1 = α − βi. Общее решение записывается в виде
Теорема о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения
Рассмотрим неоднородное линейное уравнение n-го порядка:
L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x). (13.1)
Покажем, что, как и в случае линейного неоднородного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного уравнения (13.1) приводится к интегрированию однородного уравнения, если известно одно частное решение неоднородного уравнения (13.1).
Действительно, пусть y = y1 (x) — частное решение уравнения (13.1), т. е.
L(y1 (x)) ≡ f (x) (a < x < b). (13.2)
Положим
y = y1 + z, (13.3)
где z — новая неизвестная функция от x. Тогда уравнение (13.1) примет вид
L(y1 + z) = f (x) или L(y1) + L(z) = f (x),
откуда в силу тождества (13.2) получаем
L(z) = 0. (13.4)
Это есть однородное линейное уравнение, левая часть которого та же, что и у рассматриваемого неоднородного уравнения (13.1). Уравнение (13.4) называется однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (13.1).
Пусть
z1 (x), z2 (x), …, zn (x) (a < x < b)
есть фундаментальная система решений однородного уравнения (13.4). Тогда все решения этого уравнения содержатся в формуле его общего решения
z
= 
(13.5)
Подставляя это значение z в формулу (13.3), получим
y
= y1 + 
(13.6)
Эта формула содержит в себе все решения неоднородного линейного уравнения (13.1). Функция (13.6), как нетрудно убедиться, является общим решением уравнения (13.1).
Таким образом мы доказали следующую теорему о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения (13.1).
Теорема. Общее решение неоднородного линейного уравнения (13.1) равно сумме какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения (13.4).