- •Математика
- •Основные понятия теории числовых рядов.
- •Свойства положительных числовых рядов. Необходимый признак сходимости.
- •Сходимость положительных числовых рядов :признаки сравнения.
- •Сходимость положительных числовых рядов : радикальный признак Коши, признак д’аламбера, интегральный признак Коши.
- •Сходимость знакопеременных и знакочередующихся числовых рядов. Признак лейбница. Абсолютная и условная сходимость.
- •Функциональные ряды. Основные понятия.
- •Степенные ряды. Теорема Абеля.
- •Определение радиуса и области сходимости степенных рядов.
- •Ряды тейлора и Маклорена. Разложение функизй на ряды Тейлора и Маклорена.
- •Случайное событие и основные понятия свзязаные с ним.
- •Определение вероятности: аксиоматическое классическое статическое геометрическое.
- •Свойства вероятности.
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей для совместных и не совместных событий.
- •Формула полной вероятности и формула байесса
- •Основные понятия и формулы комбинаторики.
- •Повторные испытания. Формула бернулли.
- •Дискретная случайная величина и ее закон распределения.
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
Определение вероятности: аксиоматическое классическое статическое геометрическое.
Вероя́тность — численная мера возможности наступления некоторого события.
Классическое опр:
Вероятностью события называется число, равное отношению числа элементарных исходов, составляющих событие , к числу всех элементарных исходов
Аксиоматическое опр: Пусть задано пространство элементарных событий Е и каждому событию А Е поставлено в соответствие единственное число Р ( А) такое, что:
Тогда говорят, что на событиях в множестве Е задана вероятность, а число Р ( А ) называется вероятностью события А .
Статическое опр:
где m - число испытаний, в которых событие A наступило, n - общее число произведённых испытаний.
Относительная частота события обладает свойством устойчивости:
limn→∞P(∣ ∣ nm−p∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)
Геометрическое опр:
Пусть некоторая n-мерная фигура (отрезок, плоская фигура, пространственная фигура) составляет часть другой n-мерной фигуры. Если предположить, что вероятность попадания точки на эту фигуру пропорциональна её мере (длине, площади, объёму) и не зависит от взаимного расположения меньшей и большей фигур, то вероятность попадания точки на эту фигуру определяется равенствами
где l(L), s(S), v(V) - длина, площадь и объём меньшей и большей n-мерных фигур соответственно.
Свойства вероятности.
Свойство 1. Если можно вычислить возможности возникновения события А и их число совпадает общим числом равновозможных событий, то вероятность события А равна 1.
Например, при бросании игральной кости число возможностей выпадения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 равно 6. Насчитывается также 6 равновозможных несовместимых событий. Таким образом, M = N и
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна 0. Если число возможностей события А равна 0, то и
Например, при бросании игральной кости не может выпасть число 9, потому что такого числа нет на гранях игральной кости.
Свойство 3. Вероятность случайного события всегда больше 0 и меньше 1:
или
Теоремы сложения и умножения вероятностей для совместных и не совместных событий.
Умножения:
Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило:
Доказательство. Докажем теорему для случая, когда опыт имеет конечное число несовместных равновероятных исходов.
Пусть:
· событие появилось в исходах опыта;
· событие появилось в исходах опыта;
· событие появилось в исходах опыта.
Вероятность события вычислим по классическому определению. Поскольку событие произошло, то всего возможных в этом случае исходов - ; при этом из этих возможных исходов благоприятны событию те исходы, которые составляют событие , т.е. исходов:
,
или
.
Следствие 1. Обобщим теорему на случай трех событий:
Следствие 2. Обобщим теорему на случай событий: в случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились:
.
Сложения:
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: .
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: .