Федеральное агентство по образованию РФ

Дагестанский государственный университет

И.И. Магомедов, Е.С. Магомедова

Элементы теории игр

Учебно-методическое пособие

для студентов специализирующихся по прикладной математики и экономике

Махачкала 2007

В пособии ,,Элементы теории игр” изложен теоретический материал, предусмотренный учебной программой, составленной на основании общего стандарта для специальностей прикладной математики и информатики и математико-экономических методов.

Теоретический материал сопровождается решением примеров, которые демонстрируют применение рассматриваемых формул и методов..

В конце приведены примеры для самостоятельной работы, снабженные ответами.

Пособие будет полезно не только для студентов математического факультета, но и для студентов – экономистов.

Составители: Магомедов И.И. – доцент кафедры

прикладной математики ДГУ;

Магомедова Е.С. – доцент кафедры

математико-экономических методов ДГУ.

Содержание

Введение. стр. 4

§1. Основные определения и понятия. стр. 5

§2. Классификация игр. стр. 7

§3. Игра двух сторон с нулевой суммой. стр. 9

§4. Графическое решение игры 2×2. стр. 19

§5. Упрощение игры. стр. 23

§6. Решение игр вида 2×n и m×2. стр. 27

§7. Сведение игры двух лиц с нулевой суммой

к линейной распределительной задаче. стр. 31

Упражнения. стр. 44

Литература. стр. 50

Введение.

Теория игр – это математическая дисциплина, исследующая ситуации, в которых принятие решения зависит от нескольких участников. Интересы участников могут быть как антагонистические, т.е. полностью противоположные, так и неантагонистические.

Когда речь идет о неантагонистических играх, исследуется вопрос о наиболее эффективных совместных действиях. Такие игры называются кооперативными.

Игра – это упрощенная формализованная модель реальной ситуации, описывающая действия двух или более участников. Предполагается, что известны варианты действий сторон, т.е. правила игры. Их называют стратегиями. Также известен исход игры для каждого участника в случае выбора конкретных действий всеми участниками. Также предполагается степень и порядок информированности каждого участника игры о поведении всех других участников.

Таким образом, теория игр – это математическая теория конфликтных ситуаций. Непосредственным предметом ее изучения является математический анализ формализованной модели конфликта, учитывающий особенности реальной конфликтной ситуации, а целью – выработка рекомендации по разумному поведению участников конфликта.

Начиная с XVII века отдельные математические соображения, по поводу конфликтов, высказывались многими учеными. Но систематическая математическая теория игр была разработана Дж.Нейманом и О.Моргенштерном в 1944 году как средство математического подхода к явлениям конкурентной экономики.

Конфликтные ситуации возникают в тех случаях, когда сталкиваются интересы двух и более сторон, преследующие разные, чаще всего противоположные цели, причем выигрыш каждой стороны зависит от того, как себя поведут другие, а также насколько осведомлена та или другая сторона о поведении другой стороны, т.е. от информированности сторон.

Выбор решения задачи в конфликтных ситуациях зависит от вида неопределенности.

Неопределенности можно в какой-то степени классифицировать.

Наиболее простой неопределенностью является так называемая стохастическая (вероятностная) неопределенность. В этом случае неизвестные факторы представляют собой обычные объекты изучения теории вероятностей – случайными величинами, статистические характеристики которых или известны, или могут быть получены к нужному сроку.

Однако бывает неопределенность и нестохастического вида, которую иногда называют “дурной неопределенностью”. Такие виды неопределенности и являются объектом изучения теории игр и определения области “приемлемых” решений, так как в таких задачах практически невозможно получить одно-единственное оптимальное решение.