Билеты по геометрии:

Билет 1:

Аксиомы геометрии:

1. На каждой прямой и в каждой плоскости имеются 2 точки.

2. Имеются по крайней мере 3 точки, не лежащие на 1-ой прямой, и по крайней мере 4 точки не лежащие на 1-ой плоскости.

3. Через любые 2 точки проходит прямая, и притом только 1.

4. Через любые 3 точки не лежащие на 1-ой прямой проходит плоскость и притом только 1.

5. Если 2 точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

6. Если 2 точки имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки т.е 2 плоскости пересекаются по прямой.

7. Из 3 точек прямой и только 2 лежит между 2-му другими.

8. Каждая точка о прямой разделяет её на 2 части, 2 луча, так что любые точки 1-го и того же луча лежат по одну сторону, при этом точка о, принадлежит каждому лучу.

9. Каждая прямая «а» лежащая в плоскости разделяет эту плоскость на 2 полуплоскости, при этом 2 точки могут лежать в 1-ой полуплоскости, или в разных.

10. Каждая плоскость разделяет пространство на 2 части

11. Если при наложений совмещаются конусы 2-ух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.

12. На любом луче от его начала можно отложить отрезок равный данному и только 1.

13. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол равный данному неразвёрнутому углу и притом 1.

14. 2 равных угла лежащие в плоскостях являющимися границами полупространства можно совместить наложением, что при этом совмещаются полупространства.

15. Любая фигура равна самой себе.

16. Если фигура F= , то /

17. Если фигура , то фигура , то /

18. При выбранной единице измерения отрезков длинна каждого отрезка выражается положительным числом.

19. При выбранной ед. измерения отрезков для любого положения числа существует ед. отрезок длина которого выражается этим числом.

20. В любой плоскости, через точку не лежащую на данной прямой этой плоскости проходит только 1 прямая// данной.

21. Стереометрия- это раздел геометрии. Который изучает св-ва фигур в пространстве.

Аксиомы стереометрии:

1. Любые 3 точки не лежащие на одной прямой проходит плоскость и притом только одна.

2. Если 2 точки прямой лежат в плоскости. То и вся прямая лежит в этой плоскости.

3. Если 2 плоскости имеют общую прямую. На которой лежат общие точки (т.е 2 плоскости пересекающиеся по прямой)

Теоремы:

1. Через прямую. Не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только 1.

2. Через 2 пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только 1.

Билет 2:

Параллельность прямых и плоскостей.

Обозначение:

Прямые: a, b; AB; BC.

Точки: A, B, C.

Плоскость: L, B, F.

Опр-е:

2 прямые называются, если они никогда не пересекаются и не имеют общих точек.(А//В)

Теорема:

1. Через любую точку пространства не лежащую на данной прямой проходит прямая параллельная данной и притом только 1.

2. Если 1 из 1-ух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

3. Если 2 прямые параллельны 3, то они параллельны между собой; если а//с, b//c, то a//b.

Возможны 3 случая расположения прямой и плоскости:

а) прямая лежит в плоскости;

б) прямая и плоскость имеют 1 общую точку т.е пересекаются

в) прямая и плоскость не имеют общих точек, т.е параллельны.

Теоремы:

1. Если прямая, нележащая в данной плоскости, параллельны какой-нибудь прямой из этой плоскости, то она // и самой плоскости.

2. Если плоскость проходит через данную прямую // другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения данных плоскостей // данной прямой.

3. Если 1 из 2-ух // прямых, // данной плоскости, то другая прямая либо также // данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве:

2 прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в 1-ой плоскости.

Если 1 из 2-ух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке не лежащей в данной прямой, то эти прямые скрещиваются.

3 случая взаимного расположения 2-ух прямых в пространстве:

1. Пересекаются, имеют 1 общую точку.

2. Прямые параллельны.

3. прямые скрещиваются.

Теоремы:

1. Через каждую из 2-ух прямых скрещивающихся прямых проходит плоскость // другой прямой и только 1.

2. Если стороны 2-ух углов со направлены, то такие углы равны;

Лучи называются со направленными, если они параллельны и лежат в 1-ой полуплоскости)

Взаимное расположение прямых в пространстве:

2 прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в 1-ой плоскости. Если 1 из 2-ух прямых лежит в неопределённой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке не лежащей в данной прямой, то эти прямые скрещиваются.

3 случая взаимного расположения 2-ух прямых в пространстве:

1)пересекаются, именно 1 общую точку;

2) прямые параллельны;

3)прямые скрещиваются

Теоремы:

1. Через каждую из 2-ух скрещивающихся прямых проходит плоскость // другой прямой и только 1.

2. Если стороны 2-ух углов соответственно со направлены, то такие углы равны;( лучи называются со направленными, если они параллельны и лежат в 1-ой полуплоскости).

Билет 3:

Любые две пересекающиеся прямые расположены в одной плоскости и образуют две пары смежных углов. Меньший из этих углов называется углом между пересекающимися прямыми

Это определение корректно потому, что полученный угол не зависит от положения взятой точки A на прямой. B самом деле, если на прямой a брать другую точку A₁ и через нее пронести прямую b₂|| b, то получим угол

как углы с взаимно параллельными сторонами.

Билет 4:

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M ₁ ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и M₂ ( x ₂, y ₂ , z ₂ ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

  Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х ₁ ≠ х₂ и х = х ₁ , если х ₁ = х₂ .

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой в отрезках

  Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: или

, где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

 

С = 1, , а = -1, b = 1.

 Нормальное уравнение прямой

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим

  xcosφ + ysinφ - p = 0 – нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ ? С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

уравнение этой прямой в отрезках: уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

нормальное уравнение прямой:

 

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат. Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см ² .

Уравнение прямой имеет вид: , ab /2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 не подходит по условию задачи.

Итого: или х + у – 4 = 0.

  Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

  Уравнение прямой имеет вид: >, где х ₁ = у ₁ = 0; x₂ = -2; y₂ = -3.

 

 

Угол между прямыми на плоскости

  Определение. Если заданы две прямые y = k₁ x + b₁ , y = k ₂x + b₂ , то острый угол между этими прямыми будет определяться как

 

. Две прямые параллельны, если k₁ = k₂ . Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/ k₂ . Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А ₁ х + В₁ у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = λА, В₁ = λВ. Если еще и С₁ = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

  Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Определение. Прямая, проходящая через точку М₁ (х₁ , у₁ ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

  Расстояние от точки до прямой

  Теорема. Если задана точка М(х₀ , у₀ ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

.

  Доказательство. Пусть точка М ₁(х ₁, у ₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁ :

(1)

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М ₀ перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x ₀ ) + B(y – y₀ ) + Ax₀ + By₀ + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

 

k ₁ = -3; k ₂ = 2; tgφ = ; φ= p /4.

 

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны. Находим: k ₁ = 3/5, k₂ = -5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны. Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С. Находим уравнение стороны АВ: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b .

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: . Ответ: 3 x + 2 y – 34 = 0.