- •1. Определение и понятие производной
- •2. Средства дифференцирования в MathCad
- •2.1 Примеры нахождения производных
- •3. Нахождение производной в общем виде
- •4. Физический смысл производной
- •6.2. Разложение функции в ряд Тейлора.
- •7. Встроенные функции решения краевых задач, заданных в форме Коши
- •7.2 Функция Odesolve()
- •7.2 Функция Rkfixed()
- •Порядок выполнения работы
- •Задание 1. Построение касательной к функции в точке
- •Задание 2. Физический смысл производной.
- •Задание 3. Определение экстремумов функции
- •Задание 4. Разложение функции в ряд Тейлора
- •Задание 5. Решение задачи Коши
- •Контрольные вопросы
Лабораторная работа № 6. Дифференциальное исчисление в пакете MathCad.
цель работы: освоение основных приемов вычисление производных высших порядков в пакете MathCad (4 часа)
Содержание
1. Определение и понятие производной
2. Средства дифференцирования в MathCad
2.1 Примеры нахождения производных
3. Нахождение производной в общем виде
4. Физический смысл производной
4.1 Пример применения физического смысла производной
5. Геометрический смысл производной
5.1 Пример нахождения уравнения касательной функции в некоторой точке
6. Приложения производной
6.1. Экстремумы функции
6.2. Разложение функции в ряд Тейлора.
7. Встроенные функции решения краевых задач, заданных в форме Коши
7.2 Функция Odesolve()
7.2 Функция Rkfixed()
Порядок выполнения работы
Задание 1. Построение касательной к функции в точке
Задание 2. Физический смысл производной.
Задание 3. Определение экстремумов функции
Задание 4. Разложение функции в ряд Тейлора
Задание 5. Решение задачи Коши
Контрольные вопросы
1. Определение и понятие производной
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю т.е.
2. Средства дифференцирования в MathCad
Оператор производной предназначен для нахождения значения производной функции в заданной точке.
Вызвать оператор производной можно следующими способами:
Используя ПИ производных и интегралов |
Используя клавиатуру |
|
|
для нахождения производной 1-го порядка |
Shift + ? |
|
для нахождения производной n-го порядка |
Ctrl + Shift + ? |
Для нахождения производной нужно:
1. Определить точку (или диапазон), в которой будет найдена производная;
2. Вызвать оператор нахождения производной:
появится шаблон нахождения производной 1-го порядка
или
шаблон нахождения производной n-го порядка
3. Заполнить шаблон данными:
2.1 Примеры нахождения производных
1. Найти производную функции в точке x=2.
2. Найти производную той же самой функции в точках x, на заданном интервале.
3.Найти вторую производную той же функции в точке x=3.5
3. Нахождение производной в общем виде
Для вывода на экран формулы нахождения производной необходимо:
на ПИ выбрать шаблон неопределенного интеграла производной;
заполнить его;
набрать на клавиатуре Ctrl+.(точка);
нажать ввод.
4. Физический смысл производной
Пусть s=s(t) представляет закон прямолинейного движения материальной точки. Это уравнение выражает путь s, пройденный точкой, как функцию времени t. Обозначим через ∆s путь, пройденный за промежуток времени ∆t от момента t до t+∆t, то есть ∆s=s(t+∆t)-s(t).
Отношение называется средней скоростью точки за время от t до t+∆t.
Мгновенной скоростью точки в данный момент времени t называется предел средней скорости за промежуток от t до t+∆t, когда :
или
Ускорение точки в данный момент вычисляется по следующей формуле:
4.1 Пример применения физического смысла производной
Точка движется по закону . Определить ее мгновенную скорость в момент времени t=5 с.
5. Геометрический смысл производной
Угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) в точке a равен первой производной функции в данной точке: , где
β - угол наклона касательной к оси Ох.
Уравнение касательной имеет вид:
- угловой коэффициент касательной к графику функции, в точке x=a
5.1 Пример нахождения уравнения касательной функции в некоторой точке
Найти уравнение касательной к функции , в точке x0 = 2 и ее наклон к оси Ох.
6. Приложения производной
6.1. Экстремумы функции
Правило1 (признак нахождения экстремумов, основанный на исследовании знака первой производной):
Пусть , то если при переходе через точку x0 функция f(x) меняет знак с + на – (с – на +), то x0 – точка локального максимума (минимума).
Правило 2 (признак нахождения экстремумов, основанный на исследовании знака второй производной):
Пусть и , тогда если , то x0 – точка локального максимума (минимума).
Пример нахождения экстремумов функции.