Методы поиска оптимума функции.

Метод Гаусса-Зейда.

1. X₁ задаем ближе к оптимуму;

2. Меняем факторы x₂ до тех пор пока значение x₁ не будет уменьшаться (наименьший максимум).

3. Как повысить точность достоверности? Увеличить шаги

Изменяя значение 1го фактора, например x₁, находим наилучшие значения y. Затем в этих условиях изменяем значение другого фактора, … до тех пор пока не получим удовлетворяющую точность предсказания оптимального значения y.

Шаговый метод.

Суть метода:

Сначала изучается локальная область, затем определяется интересующее направления, и в этом направлении ставятся следующие опыты.

Анализ результатов моделирования процессов.

Интерпретация результатов.

Считаем, что получили адекватную линейную модель, которая имеет вид полинома 1ой степени. Коэффициенты полинома являются частными производными функциями отклика по соответствующим переменным.

Выдача результатов сложна и решается в несколько этапов:

1. Определение степени влияния какого фактора на параметр оптимизации, величина коэффициента регрессии является мерой этого влияния. Чем больше коэффициент, тем больше влияет фактор.

«+» - функция отклика растет;

«-» - убывает.

Изменение интервалов варьирования приводит к изменению коэффициентов регрессии.

Абсолютные величины коэффициентов увеличиваются с увеличением интервала. Знаки коэффициента инвариантны к изменению интервала. Надо помнить, что они изменятся на противоположные, если при движении по градиенту мы перейдем экстремумы.

2. Определение характера взаимодействия фактора. Одним из источников информации являются априорные сведения, полученные в результате теории рассматриваемого процесса, опыта работы с аналоговыми процессами.

В инженерной практике бывает, что результаты экспериментов входят в противоречия с теоретическими представлениями о протекании процессов.

Возможные причины.

А) в эксперименте допущена ошибка;

Б) неверны априорные представления

При анализе необходимо учитывать:

1. Эксперимент проводится в локальной области факторного пространства и коэффициенты отражают влияние фактора в этой области;

2. Априорная информация основывается на однофакторных зависимостях. При переходе к многофакторному пространству, ситуация может меняться.

3. Проверка гипотез о механизме явлений и выдвижения новых гипотез. Необходимым условием является обширная информация о процессе. При анализе особое внимание надо уделять эффектам взаимодействия. Если эффект взаимодействия имеет «+» знак, то для увеличения параметра оптимизации требуется одновременное увеличение/уменьшение значений фактора. Для уменьшения параметра оптимизации факторы должны одновременно изменяться в разных направлениях x.

Интерпретация уравнения регрессии и помогает понять процесс и принять решение при ее оптимизации.

Принятие решения после принятия решения.

Принятие решения зависит от числа факторов, дробности плана, цели исследования.

В основу принятия решения положено:

• Все коэффициенты регрессии значимы;

• Часть коэффициентов значима, часть нет;

• Все коэффициенты незначимы.

В каждом варианте оптимум может быть близко/далеко/о его положении может не быть информации.

1. Если область оптимума близка, то возможны 3 решения:

А) окончание исследований;

Б) переход к планам 2го порядка (учитываем эффекты взаимодействия, неполный квадратный трехчлен).

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₁₂x₁x₂+b₁₁x₁²+b₂₂x₂²

не прошло -> => добавляем члены поленома

Дает возможность получить математическое описание областей оптимума и найти экстремум

В) движение по градиенту - используется при малой ошибке трудно установить приращения параметра оптимизации. При неопределенной ситуации или удалении области оптимума принимают одинаковое решение – движение по градиенту.

2. В этом случае выбираются решения, реализация которых приводит к получению значимых коэффициентов, важно выдвинуть и проверить гипотезу, объясняющую незначимость коэффициентов ( неудачно выбран интервал варьирования, включения фактора не влияющего на параметр оптимизации; большая ошибка опыта …)

Перенос центра плана предусматривает перенос центра в точку, соответствует условиям наилучшего опыта.

Увеличение числа 2х опытов приводит к уменьшению дисперсии воспроизводимости и дисперсии коэффициентов регрессии.

Доставка плана осуществляется несколькими способами:

А) переход к ПФЭ;

Б) переход к реплике меньшей дробности;

В) переход к плану его порядка (если область оптимума близка).

Следует помнить, что реализация любого из этих направлений требует увеличение числа опытов => возможно принять во внимание только значимые факторы.

3. Все коэффициенты регрессии незначимы (большая ошибка эксперимента или узкие интервалы варьирования)

Схема принятия решения в задаче определения оптимальных условий.

Линейная модель адекватна.

Линейная модель неадекватна.

Представим стратегию построения математической модели в виде схемы.