30. Понятие числового ряда и суммы ряда. Геометрическая прогрессия

Рассмотр. бесконечн. посл. чисел Q₁,Q₂,…,Qn₁,… и с помощью этих чисел состав. формальное выражение

Запись (1) назв. числовым рядом, а a_n-общий член ряда.

Сумма ряда. Частичной суммой Sn ряда (1) назв. сумма его первых n-членов. Sn=a₁+a₂+…+a_n.

Если сущ. конечный предел последоват. , то ряд назыв. сходящимся, а число S-его суммой.

Если предел не сущ. и равен бесконечности, то ряд наз. расходящимся.

Геометрический ряд – это ряд, составл. из членов геометрической прогрессии, т.е. ряд вида:

b₁+b₁q+b₁q²+…+b₁q^n-1+…, b₁

при |q<1| геометрический ряд сх-ся S=b/1-q ; при |q>1|- расх-ся

36. Степенной ряд.Обл-ть сх-ти ст-ого ряда

Опред-ие1:Степенным рядом назв. функциональный ряд вида:

Легко увидеть, что ряд (1) сходится в точке x=0, а ряд (2) в точке x=x₀. Заменой y=x-x₀ исследование сходимости ряда (2) переходит в исследование сходимости ряда (1).

Опред-ие2: Мн-во значений х, при кот-ых степенной ряд (1) сх-ся /расх-ся назыв-ся областью сх-ти /расх-ти степенного ряда.

- Всякий ст-ой ряд имеет свой радикус сх-ти и интервал сх-ти (-R;R)при x=+/-R ряд может сх-ся /расх-ся для каждого конкретного ряда этот «?» решается индивид-но

- областью сх-ти ст-ого ряда (1) явл-ся интервал сх-ти (-R;R)с возм-но присоединённой 1 или 2 точками в зав-ти от того, как ведёт себя ряд на концах интервала.

38. Ряды Тейлора и Маклорена:

Пусть ф-я f(x) опр. в окрестности точки х₀ и имеет в этой точке производные любого порядка.

Ряд вида:

(1) – ряд Тейлора.

(2)

ряд Маклорена.

Достаточным условием разложения в ряд Тейлора явл. ограниченность ф-и и всех ее производных в некоторой окрестности U(x₀) в точке х₀ одним и тем же числом С. |f⁽ⁿ⁾(x)|<C для любого n.

Разложение, тогда для любого х принадлежащего U(x₀) ряд Тейлора ф-и сходится к значению ф-и f(x) в этой точке.

Если ф-я разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно.