1. Сформулировать задачу Коши обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

2. Сформулировать определение дифференциального уравнения -го порядка

3. Сформулировать определение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

4. Сформулировать определение линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка.

5. Сформулировать определение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка

6. Сформулировать определение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

7. Сформулировать определение характеристического уравнения, соответствующего линейному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами.

8. Сформулировать определение дифференциального уравнения Бернулли.

9. Сформулировать определение изоклины обыкновенного дифференциального уравнения.

10. Сформулировать определение порядка обыкновенного дифференциального уравнения.

11. Сформулировать определение общего интеграла обыкновенного дифференциального уравнения -го порядка / первого порядка.

12. Сформулировать определение общего решения обыкновенного дифференциального уравнения -го порядка / первого порядка.

13. Сформулировать определение особого решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

14. Сформулировать определение поля направлений обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

15. Сформулировать определение решения дифференциального уравнения -го порядка.

16. Сформулировать основное свойство (о структуре) общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка

17. Сформулировать определение частного решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

18. Сформулировать определение интегральной кривой / семейства интегральных кривых обыкновенного дифференциального уравнения

19. Сформулировать теорему о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

20. Сформулировать определение дифференциального уравнения в полных дифференциалах.

21. Сформулировать определение однородного дифференциального уравнения.

22. Сформулировать задачу Коши обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

23. Сформулировать определение линейно независимых на интервале функций.

24. Сформулировать определение линейно зависимых на интервале функций.

25. Сформулировать определение фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

26. Сформулировать теорему об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

27. Сформулировать и доказать свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка.

28. Сформулировать и доказать свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэфффициентами.

29. Метод решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

30. Метод Лагранжа для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.

31. Способы нахождения решения дифференциального уравнения первого порядка с разделенными переменными, удовлетворяющего произвольному начальному условию .

32. Метод Бернулли решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка..

33. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка.

34. Какой вид имеет общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , если ? Объясните.

35. Какой вид имеет общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , если ? Объясните.

36. Какой вид имеет общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , если ? Объясните.

37. Метод вариации произвольных постоянных (Лагранжа) нахождения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэфффициентами.

38. Сформулировать теорему о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения; указать случаи, когда частное решение можно определить по виду правой части такого уравнения методом неопределенных коэффициентов.

1. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части: .

2. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части: .

3. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части: .

4. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части: .

5. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части: .

6. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части: .

7. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части:

8. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части: .

9. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части:

10. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части:

11. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части:

12. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части:

13. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части:

14. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части:

15. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части:

16. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части:

17. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части:

18. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части:

19. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части:

20. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части:

21. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части:

22. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части:

23. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части:

24. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части:

25. Определить и записать структуру частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по виду правой части: .

Ряды

Числовые ряды.

1. Верно ли утверждение о том, что если , то числовой ряд сходится? Почему?

2. Какой – условной или абсолютной – является сходимость отрицательных числовых рядов? Объясните

3. Какой – условной или абсолютной – является сходимость положительных числовых рядов? Объясните

4. Сформулируйте признак Даламбера для отрицательного числового ряда.

5. Сформулируйте признак Коши для отрицательного числового ряда.

6. Положительный числовой ряд исследовали на сходимость по признаку Коши и получили, что . Как выяснить, сходится этот ряд или расходится?

7. Положительный числовой ряд исследовали на сходимость по признаку Даламбера и получили, что . Как выяснить, сходится этот ряд или расходится?

8. При исследовании на сходимость положительного числового ряда студент получил, что , и сделал вывод, что ряд сходится. Допустил ли этот студент ошибку?, почему.

9. Сформулировать первый признак сравнения

10. Сформулировать второй признак сравнения

11. Сформулировать интегральный признак Коши сходимости числового ряда

12. Сформулировать необходимое условие сходимости числового ряда

13. Сформулировать определение абсолютно сходящегося числового ряда

14. Сформулировать определение знакопеременного числового ряда

15. Сформулировать определение знакочередующегося числового ряда

16. Сформулировать определение -й частичной суммы числового ряда

17. Сформулировать определение лейбницевского числового ряда

18. Сформулировать определение расходящегося числового ряда

19. Сформулировать определение суммы числового ряда

20. Сформулировать определение отрицательного числового ряда

21. Сформулировать определение положительного числового ряда

22. Сформулировать определение сходящегося числового ряда

23. Сформулировать определение условно сходящегося числового ряда

24. Сформулировать определение числового ряда.

25. Сформулировать определение остатка числового ряда.

26. Сформулировать признак Даламбера для положительного числового ряда

27. Сформулировать признак Коши для неотрицательного числового ряда (радикальный).

28. Сформулировать теорему Лейбница.

Степенные ряды.

1. Записать формулу для вычисления коэффициентов степенного ряда данной функции в точке

2. Запишите общий член функциональной последовательности, образующей степенной ряд общего вида

3. Запишите общий член функциональной последовательности, образующей степенной ряд Маклорена

4. Как найти интервал сходимости степенного ряда, не являющегося рядом Маклорена?

5. Каким типом сходимости обладает степенной ряд внутри интервала сходимости?

6. Какими свойствами обладает сумма степенного ряда внутри интервала сходимости?

7. Приведите пример ряда Маклорена, расходящегося на всей числовой прямой

8. Приведите пример ряда Маклорена, сходящегося на всей числовой прямой

9. Приведите пример ряда Маклорена.

10. Сформулировать определение остатка функционального ряда.

11. Приведите пример степенного ряда, не являющегося рядом Маклорена

12. Приведите пример функционального ряда, не являющегося степенным

13. Сформулировать достаточное условие разложимости функции в степенной ряд

14. Сформулировать необходимое условие разложимости функции в степенной ряд

15. Сформулировать определение интервала сходимости степенного ряда

16. Сформулировать определение области определения функционального ряда

17. Сформулировать определение радиуса сходимости степенного ряда

18. Сформулировать определение области сходимости степенного ряда

19. Сформулировать определение расходящегося функционального ряда

20. Сформулировать определение степенного ряда

21. Сформулировать определение суммы функционального ряда

22. Сформулировать определение сходящегося функционального ряда

23. Сформулировать определение функциональной последовательности

24. Сформулировать определения функционального ряда

25. Записать и пояснить формулы для радиуса сходимости степенного ряда

26. Сформулировать теорему Абеля

27. Сформулировать теорему о строении области сходимости степенного ряда.

28. Способы нахождения области сходимости степенного ряда.

Числовые и степенные ряды. (Уровень 2)

1. Приведите пример числового ряда, чтобы для него необходимое условие сходимости выполнялось, а ряд расходился.

2. Пусть даны положительные числовые ряды и . Известно, что ряд сходится и . Можно ли утверждать, что ряд тоже сходится? Почему?

3. Пусть даны положительные числовые ряды и . Известно, что ряд расходится и . Что можно сказать про сходимость ряда ? Почему?

4. Для исследования сходимости положительного числового ряда студент применил признак Даламбера и получил, что . Так как , то он сделал вывод, что ряд расходится. Допустил ли этот студент ошибку и почему? Если допустил, то исправьте ее.

5. Пусть даны положительные числовые ряды и . Известно, что ряд сходится и . Что можно сказать про сходимость ряда ? Почему?

6. Для исследования сходимости положительного числового ряда студент применил признак Коши и получил, что . Так как , то он сделал вывод, что ряд сходится. Допустил ли этот студент ошибку и почему?

7. Сформулируйте свойства сходящихся числовых рядов.

8. Сформулируйте свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

9. Дан степенной ряд . Является ли он сходящимся в точке ? Объясните.

10. В каком множестве содержится больше точек: в интервале сходимости или в промежутке сходимости? Объясните.

11. Для степенного ряда студент получил, что его радиус сходимости равен 2, а затем сделал вывод, что интервал сходимости этого ряда . Верен ли этот ответ? Объясните.

12. У функции в точке четыре первых производных в этой точке отличны от нуля, а остальные – в ней не существуют. Разложима ли эта функция в степенной ряд в точке ? Почему?

13. В каких случаях промежуток сходимости совпадает с интервалом сходимости? Почему?

14. При вычислении радиуса сходимости ряда Маклорена по формуле получилось, что . Был сделан вывод, что про радиус сходимости ничего нельзя сказать. Правилен ли этот вывод? Почему?

15. Пусть радиус сходимости степенного ряда с центром в точке . Правильным ли будет следующее утверждение: так как , то степенной ряд сходится в точке ? Почему?

16. Вычисляя радиус сходимости степенного ряда , студент получил, что и сделал вывод, что интервал сходимости . Допустил ли этот студент ошибку? Почему?

17. Может ли промежуток сходимости степенного ряда являться интервалом ? Почему?

18. При вычислении радиуса сходимости ряда Маклорена по формуле получилось, что . Был сделан вывод, что про радиус сходимости ничего нельзя сказать? Правилен ли этот вывод? Почему?

19. Пусть радиус сходимости степенного ряда с центром в точке . Правильным ли будет следующее утверждение: так как , то степенной ряд сходится в точке ? Почему?

20. Вычисляя радиус сходимости степенного ряда , студент получил и сделал вывод, что интервал сходимости . Допустил ли этот студент ошибку? Почему?

21. Может ли промежуток сходимости степенного ряда являться промежуток ? Почему?

22. Пусть радиус сходимости степенного ряда с центром в точке . Правильным ли будет следующее утверждение: так как , то степенной ряд сходится в точке ? Почему?

23. Вычисляя радиус сходимости степенного ряда , студент получил и сделал вывод, что интервал сходимости . Допустил ли этот студент ошибку? Почему?

24. Степенной ряд сходится на отрезке . Можно ли утверждать, что его сумма будет являться непрерывной функцией в каждой точке внутри интервала ? Почему?

25. Может ли промежуток сходимости степенного ряда являться интервалом ? Почему?

26. У функции в точке четыре первых производных в этой точке отличны от нуля, а остальные – в ней не существуют. Разложима ли эта функция в степенной ряд? Почему?

27. Вычисляя радиус сходимости степенного ряда , студент получил и сделал вывод, что интервал сходимости . Допустил ли этот студент ошибку? Почему?

28. Промежуток сходимости некоторого степенного ряда является интервалом . Найдите центр степенного ряда

29. Промежуток сходимости некоторого степенного ряда является полуинтервалом . Найдите центр степенного ряда

30. Пусть радиус сходимости степенного ряда с центром в точке . Правильным ли будет следующее утверждение: так как , то степенной ряд сходится в точке ? Почему?

31. При исследовании числового ряда на сходимость студент сумел вычислить сумму ряда, после чего сделал вывод, что ряд сходится. Прав ли был студент? Почему?

Практическая часть (Примерные задачи)

1. А. Найти общее решение ДУ (сначала определите тип ДУ!)

 а) , б) , в) , г)  , д) ,

е) , ж) , з) , и) ,

к) , л) , м)  , н) , о) , п)

р) , с) , т) .

Б Найти решение задачи Коши линейного дифференциального уравнения

, , ,

, , ,

, , .

, ,

,

, ,

, ,

,

А. Найти локальные экстремумы функции:

а) , б) , в) ,

г) , д) , е) , ж) ,

з) , и) , к) , л) ,

м) , н) .

Б. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном множестве:

а) на полукруге единичного радиуса с центром в начале координат и расположенном в правой полуплоскости; б) на треугольнике, заданном неравенствами , , ; в) на множестве, заданном неравенствами , ,

г) на множестве, заданном неравенствами , , ,

д) на треугольнике, заданном неравенствами , , е) на множестве, заданном неравенствами , , , ж) на множестве , , з) в круге .

3.

А. Исследовать на сходимость следующие ряды

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Б Найти промежуток сходимости степенного ряда:

,

,

,

,

,

  ,

  , ,

,

, ,

9