Раздел II. Введение в общую алгебру. Лекция № 5. Элементы общей алгебры.

1. Свойства бинарных алгебраических операций.

Определение.На множестве А определенаалгебраическая операция, если каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.

Примерами алгебраических операций могут служить такие операции как сложение и вычитание целых чисел, сложение и вычитание векторов, матриц, умножение квадратных матриц, векторное умножение векторов и др.

Отметим, что скалярное произведение векторов не может считаться алгебраической операцией, т.к. результатом скалярного произведения будет число, и числа не относятся к множеству векторов, к которому относятся сомножители.

Замечание.Вообще говоря, операция, определённая таким образом, называетсябинарной, поскольку в ней участвуют два элемента. Но также можно говорить обунарныхоперациях, в которых участвует только один элемент данного множества, и в соответствие ему однозначным образом поставлен второй элемент этого множества. Таковы, например, операции извлечения корня квадратного или нахождения модуля числа.

Аналогично можно определить тринарнуюи прочие операции на данном множестве, в зависимости от количества участвующих в них элементов. В общем случае,операцией на множествебудем называть функцию типа.

Определение.Операция, отображающая любой элемент множествав себя, называетсятождественной операцией.

Тождественной операцией на множестве , например, является умножение на единицу.

Для того чтобы описанные ниже соотношения выглядели бы более привычно, положим результат применения бинарной операции элементамзаписывать не в функциональном виде, а виде, принятом для записи арифметических операций.

Определение.Операцияназываетсякоммутативной, если для любых элементоввыполняется:.

Операции сложения и умножения чисел коммутативны, а вычитание и деление некоммутативны. Также некоммутативна операция умножения матриц (как известно из курса линейной алгебры).

Определение.Операцияназываетсяассоциативной, если для любых элементоввыполняется:.

Выполнение условия ассоциативности означает, что скобки в выражении можно не расставлять. Сложение и умножение чисел ассоциативны, что и позволяет не ставить скобки в выражениях типаи. В качестве примера неассоциативной операции можно привести возведение в степень:

.

Правда, запись является допустимой, но служит сокращением записи выражения, а не(сокращённая запись которого -). Важным примером ассоциативной операции является композиция отображений.

Определение.Операцияназываетсядистрибутивной слеваотносительно операции, если для любыхвыполняется:

,

и дистрибутивной справаотносительно операции, если для любыхвыполняется:

.

Наличие свойства дистрибутивности позволяет раскрывать скобки. Например, умножение дистрибутивно относительно сложения (и вычитания) и справа, и слева:

.

Возведение в степень дистрибутивно относительно умножения справа: , но не слева:. Сложение (и вычитание) чисел недистрибутивно относительно умножения:. Ниже будет показано, что операции пересечения и объединения множеств дистрибутивны относительно друг друга и слева, и справа.